几种常见函数的导数

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1、××××中学教学设计方案年月日星期第节课题几种常见函数的导数章节第二章第三节教学目的知识目标1.掌握四个公式，理解公式的证明过程；2.学会利用公式，求一些函数的导数；3.理解变化率的概念，解决一些物理上的简单问题。能力目标学会提出问题、明确探究方向，培养创新精神和应用能力。德育目标了解微积分的科学价值，文化价值和基本思想，提高学生学习兴趣。教学重点用定义推导常见函数的导数公式。教学难点公式的推导。教学方法采用引导法，创设问题情境。学法指导加深对导数概念的理解，熟记常见函数的导数的公式。教具粉笔、黑板第8页共8页教学环节教学过程一、复习引入1.导数的定义：设函数在处附近有定义，当自变量在

2、处有增量时，则函数相应地有增量，如果时，与的比（也叫函数的平均变化率）有极限即无限趋近于某个常数，我们把这个极限值叫做函数在处的导数，记作，即2.导数的几何意义：是曲线上点（）处的切线的斜率因此，如果在点可导，则曲线在点（）处的切线方程为3.导函数(导数):如果函数在开区间内的每点处都有导数，此时对于每一个，都对应着一个确定的导数，从而构成了一个新的函数,称这个函数为函数在开区间内的导函数，简称导数，也可记作，即＝＝函数在处的导数就是函数在开区间上导数在处的函数值，即＝所以函数在处的导数也记作。导数与导函数都称为导数，这要加以区分：求一个函数的导数，就是求导函数；求一个函数在给定点的导

3、数，就是求导函数值它们之间的关系是函数在点处的导数就是导函数在点的函数值4.可导:如果函数在开区间内每一点都有导数，则称函数在开区间内可导5.可导与连续的关系：如果函数y=f(x)在点x0处可导，那么函数y=f(x)在点x0处连续，反之不成立.函数具有连续性是函数具有可导性的必要条件，而不是充分条件。6.求函数的导数的一般方法：（1）求函数的改变量第8页共8页教学环节教学过程二、讲解新课（2）求平均变化率；（3）取极限，得导数＝。1.(C为常数)说明：此公式可以叙述为：常函数的导数为零．其几何解释是：函数的图象是平行于轴的直线，其上任一点的切线即为直线本身，所以切线的斜率都是0.证明：

4、=C，∴Δy=f(x+Δx)－f(x)=C－C=0∴=0，=C′==0，∴=0.2.()说明：实际上，此公式对都成立，但证明较复杂，所以课本只给出了的证明证明：=∴Δy=f(x+Δx)－f(x)==+Δx+(Δx)2+…+－=Δx+(Δx)2+…+·=+Δx+…+·∴===（+Δx+…+·)==n∴=3.证明方法一：y=sinx，Δy=sin(x+Δx)－sinx=sinxcosΔx+cosxsinΔx－sinx∴=第8页共8页教学环节教学过程=－2sinx·1·0+cosx=cosx∴=cosx证明方法二：，，，∴．4.证明方法一：y=cosx，Δy=cos(x+Δx)－cosx=c

5、osxcosΔx－sinxsinΔx－cosx=第8页共8页教学环节教学过程三、讲解例题∴=－sinx证明方法二：，　　　　　　，，∴．∴=－sinx.第二种方法比较简便，所以求三角函数的极限时，选择哪一种公式进行三角函数的转化，要根据具体情况而定，选择好的公式，可以简化计算过程.我们把上面四种函数的导数可以作为四个公式，以后可以直接用。例1求(1)(x3)′(2)()′(3)()′解：(1)(x3)′=3x3－1=3x2；(2)()′=(x－2)′=－2x－2－1=－2x－3(3)第8页共8页教学环节教学过程第8页共8页四、课堂练习例2质点运动方程是,求质点在时的速度．解：∵　，∴　

6、,∴．答：质点在时的速度是．例3求曲线在点A的切线方程．解：∵　　　　∴　∴　　　∴　所求切线的斜率　∴　所求切线的方程为　，即　　　答：曲线在点A的切线方程为．1．(口答)求下列函数的导数：(1)y=x5(2)y=x6(3)x=sint(4)u=cos答案：(1)y′=(x5)′=5x4；(2)y′=(x6)′=6x5；(3)x′=(sint)′=cost；(4)u′=(cos)′=－sin2.求下列函数的导数：(1)y=(2)y=答案：(1)y′=()′=(x－3)′=－3x－3－1=－3x－4(23.质点的运动方程是s=t3，(s单位m，t单位s)，求质点在t=3时的速度.解：v

7、=s′=(t3)′=3t3－1=3t2当t=3时，v=3×32=27m/s，∴质点在t=3时的速度为27m/st=3时，v=g·3=9.8·3=29.4m/s，∴t=3时的速度为29.4m/s.第8页共8页教学环节几种常见函数的导数常见函数的导数例题123板书设计本课小结这节课主要学习了四个公式:①C′=0(C是常数)，②(xn)′=nxn－1(n∈R)，③(sinx)=cosx，④(cosx)′=－sinx。布置作业课后练习课后自评第8页共8