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1、几种常见函数的导数一、复习1.解析几何中,过曲线某点的切线的斜率的精确描述与求值;物理学中,物体运动过程中,在某时刻的瞬时速度的精确描述与求值等,都是极限思想得到本质相同的数学表达式,将它们抽象归纳为一个统一的概念和公式——导数,导数源于实践,又服务于实践.2.求函数的导数的方法是:说明:上面的方法中把x换x0即为求函数在点x0处的导数.3.函数f(x)在点x0处的导数就是导函数在x=x0处的函数值,即.这也是求函数在点x0处的导数的方法之一。4.函数y=f(x)在点x0处的导数的几何意义,就是曲线y=f(x)在点P(x0,f(x0))处的切线的斜率.5.求切线方
2、程的步骤：（1）求出函数在点x0处的变化率，得到曲线在点(x0,f(x0))的切线的斜率。（2）根据直线方程的点斜式写出切线方程，即二、新课——几种常见函数的导数根据导数的定义可以得出一些常见函数的导数公式.公式1:.公式2:.请注意公式中的条件是,但根据我们所掌握的知识,只能就的情况加以证明.这个公式称为幂函数的导数公式.事实上n可以是任意实数.公式3:.要证明这个公式,必须用到一个常用极限同理可证,公式4:.三、例题选讲例1:求过曲线y=cosx上点P()且与过这点的切线垂直的直线方程.注:满足条件的直线称为曲线在P点的法线.OAxMPy例2:如图,质点P在半
3、径为10cm的圆上逆时针做匀角速运动,角速度1rad/s,设A为起始点,求时刻t时,点P在y轴上的射影点M的速度.解:时刻t时,因为角速度1rad/s,所以.故点M的运动方程为:y=10sint.故时刻t时,点P在y轴上的射影点M的速度为10costcm/s.例3:已知两条曲线y=sinx,y=cosx,问是否存在这两条曲线的一个公共点,使在这一点处,两条曲线的切线互相垂直?并说明理由.解:设存在一个公共点P(x0,y0)满足题设条件.由两条曲线的切线在点P互相垂直,则cosx0(-sinx0)=-1,得sinx0cosx0=1,即sin2x0=2.这不可能,所以
4、不存在满足题设条件的一个点.练习1:曲线y=sinx在点P()处的切线的倾斜角为___________.例4:已知曲线在点P(1,1)处的切线与直线m平行且距离等于,求直线m的方程.设直线m的方程为3x+y+b=0,由平行线间的距离公式得:故所求的直线m的方程为3x+y+6=0或3x+y-14=0.例5:求双曲线与抛物线交点处切线的夹角.例6:求过点P(3,5)且与曲线y=x2相切的直线方程.说明:曲线上求在点P处的切线与求过点P的切线有区别.在点P处的切线,点P必为切点,求过点P的切线,点P未必是切点.应注意概念的区别,其求法也有所不同.解:设所求切线的切点在A
5、(x0,y0).因为A是曲线y=x2上的一点,所以,y0=x02①.又因为函数y=x2的导数为所以过点A(x0,y0)的切线的斜率为由于所求切线过P(3,5)和A(x0,y0)两点,故其斜率又应为②.联立①,②解得:故切点分别为(1,1)或(5,25).当切点为(1,1)时,切线的斜率为k1=2x0=2;当切点为(5,25)时,切线的斜率为k2=2x0=10;所以所求的切线有两条,方程分别为:y-1=2(x-1)或y-25=10(x-5),即y=2x-1或y=10x-25.练习2:若直线y=3x+1是曲线y=ax3的切线,试求a的值.解:设直线y=3x+1与曲线y
6、=ax3相切于点P(x0,y0),则有:y0=3x0+1①,y0=ax03②,3ax02=3.③由①,②得3x0+1=ax03,由③得ax02=1,代入上式可得:3x0+1=x0,x0=-1/2.所以a•(-1/2)3=1,a=4.四、小结与作业1.要切实掌握四种常见函数的导数公式:(1)(c为常数;(2);(3);(4)2.对于简单函数的求导,关键是合理转化函数关系式为可以直接应用公式的基本函数的模式.3.能结合直线的知识来解决一些与切线有关的较为综合性问题.4.作业:p.233~234课后强化训练.
