关于正整数奇偶分拆数的计算问题

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1、万方数据2008年9月第24卷第3期纯粹数学与应用数学PureandAppliedMathematicsSep．2008Vbl．24NO．3关于正整数奇偶分拆数的计算问题郭育红，晏兴学(河西学院数学系，甘肃张掖73400)摘要：正整数他的分拆是指将正整数n表示成一个或多个正整数的无序和，设0(礼，m)表示将正整数n分拆成m个奇数之和的分拆数；e(n，m)表示将正整数n分拆成m个偶数之和的分拆数．本文用初等方法给出了将Dfn，m)，ef％m)分别化为有限个0(n，2)，e(n，2)的和的计算公式，进而达到计算O(n，m)，e(n，m)的值．同时

2、，还讨论了将正整数礼分拆成互不相同的奇数或偶数的分拆数的相应的递推计算方法．关键词：正整数的分拆；分拆数；奇分拆；偶分拆；互不相同的分拆中图分类号：0157文献标识码：A文章编号：1008—5513(2008)03—0525—041引言正整数n的分拆是指将正整数几表示成一个或多个正整数的无序和，其分拆数记为P(礼)．设P(n，m)表示将正整数n分拆成m个正整数之和的分拆数；O(n，m)表示将正整数n分拆成m个奇数之和的分拆数；e(n，m)表示将正整数n分拆成m个偶数之和的分拆数．它们都是组合论、图论和数论等的重要数据和概念．对于P(n，m)的

3、计数问题有许多结果[卜7】，而有关D(n，m)，e(n，m)的计数问题讨论的相对较少．一般的方法是利用生成函数．但是我们知道，利用生成函数来研究0(n，m)，e(n，m)的计数问题并不是很方便，需要一定的生成函数技巧．故本文从O(n，m)，e(礼，m)本身出发，用初等方法给出了它们的一种递推关系．这些递推关系不仅可以计算O(n，m)，e(礼，m)，也从理论上反映出分拆数O(n，m)，e(n，m)的有趣的性质．本文采用如下记号1o(n，仇ft)表示将n分拆成m个奇数，且最小分部量为t的分拆数；2e(n，mlt)表示将n分拆成m个偶数，且最小分部

4、量为t的分拆数；3陋1表示不超过口的最大整数，口为实数．2关于正整数奇分拆的计算引理1设n=nl+722+⋯+佗m，其中1≤nl≤n2≤⋯≤佗m．则nl≤[兰]．证明显然．引理2设k≥1，O(n，m12k一1)=o(n一2kin+2m一1，m—1)．证明设n=nl+n2+⋯+nm(1)其中，2k一1Sn1≤n2≤⋯≤n。，礼i是奇数，i=1，2⋯．，m．是n满足最小分部量为2k～1的m个奇数之和的任意一个分拆．则(1)式等价于n—m(2k一2)=(nl一(2k一2))+(n2一(2南一2))+⋯+(n。一(2k一2))收稿日期：2006-05

5、-03．基金项目：甘肃省教育厅科研项目(0709-03)，甘肃省高等学校研究生导师科研项目(0809-04)作者简介：郭育红(1970-)，女，副教授，研究方向：组合数学与图论．万方数据526纯粹数学与应用数学第24卷于是有礼一m(2k一2)=1+礼：+n：+⋯+n：n而n：是奇数，i=2⋯．，m；并且1≤礼：≤佗；≤⋯≤礼幺．故n—m(2k一2)一1=n：+n：+⋯+n幺也就是说将n一2kin+2m一1分拆成m一1个奇数之和的一个分拆．故分拆数相等．结论成立．定理1o(n，m)=∑蓦q1D(n一2kin+2m—l，m—1)．证明设n=他1+

6、n2+⋯+nm，其中1≤n1≤n2⋯≤nm，％是奇数，i=1，2⋯．，m，是n的任意一个分成m个奇数之和的分拆．则由引理1知l≤n1≤[杀]，即该类分拆包括n1在1到[暑]之间的所有分拆．由加法原理有o(佗，m)=∑暴1o(n，mini)；又因为nl取奇数2k一1，故1≤充≤【朵+扎所以有再由引理2即得[靠+{】o(n，m)=∑o(n一2kin+2m一1，m一1)k=1．下面我们考虑n分拆成m个互不相同的奇数的分拆数的计算问题．设0≠(n，m)表示将n分拆成m个互不相同的奇数的分拆数．于是有：引理3设n=nl+礼2+⋯+礼。，其中n1>n2>

7、⋯>nm，则nm≤【象，i里尹】．证明设n=n1+n2+⋯．+礼m，其中几1>礼2>⋯>nm．由该分拆的Ferrers图和其共轭图易知礼的该分拆对应不定方程t—Xl+2x2+⋯+mzm=n(2)的一个正整数解，并且不同的分拆对应的正整数解也不同．且这种对应关系是一一的．于是几。对应于方程(2)中的zm，而佗一mz。一z1+2x2+⋯+(m一1)z。一1≥型!12型，所以2n—m(m一11nm一1zm≤————荔≯2磊一—丁故礼m≤[蔫一霉尹】．、于是，当该分拆是奇分拆时就有下面的结论：引理4o≠(n，m)=∑忽1o≠(礼，m12k一1)，其中

8、，ko=[蠡一丁m-1+卦证明设n=礼1+n2+⋯+nm，其中2k一1=nl