有关正整数的一类分拆数的计算

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1、万方数据第20卷第5期200b年9月甘肃联合大学学报(自然科学版)JournalofGansuLianheUniversity(NaturalSciences)V01．20No．5Sept．2006文章编号：1672—691Xf2006)05—0030—03有关正整数的一类分拆数的计算郭育红(河西学院数学系，甘肃张掖734000)摘要：讨论了正整数n的一些带约束条件的分拆问题．给出了计算其中三类分拆数的递推关系：一类为将n分拆成z个不同的分部(项)，且分部量不超过正整数女的分拆数的递推关系；另一类为将咒分拆成各分部量互不相同且分部量

2、不超过^的分拆数的递推关系，进而给出了计算这类分拆数的一种计算方法；第三类为将正整数分拆成分部量不超过^且互不相同的奇偶分拆数的递推关系．关键词：正整数的分拆；各分部量互不相同的分拆；奇偶分拆；递推关系中图分类号：0157文献标识码：A1问题的提出正整数的分拆是指将正整数规分解成一个或多个正整数的无序和．分拆理论是货币兑换问题的一种特例，它是组合数学，图论和数论的一个重要研究课题．正整数咒的所有不同的分拆数记为P(行)；正整数分拆成各分部量互不相同的分拆数记为Q(卵)．由于P(咒)，Q(，z)随行的增加丽剧增，虽然我们熟知P(押)，

3、Q(以)的生成函数为fI(1一t才∞矿)～，rI(1+矿)，但是当咒较大时求P(咒)，Q(挖)；才的值还是比较困难．而且在大多情况下，我们需要研究正整数的各种限制条件下的分拆数．对于P(咒)的计算问题以及性质已有的文献(见[1]一[7])讨论的较多，而有关Q(n)的类似问题的讨论相对少一些．我们先看一个组合实例：若有1克，2克，3克，4克的砝码各一枚，问称重量为6克的重物的方案有几种(砝码放在一边)?该问题的数学模型就是将6分拆成各分部量互不相同且分部量不超过4的分拆数．即6—2+4—1+2+3这两种方案．由上述组合实例便产生了押的

4、一类有限制条件的分拆：咒一九l+"2+⋯+咒￡，1≤竹l<行2<⋯<地；其中规i≤走，i一1，2，⋯，z，足≤粗．而且当忌一钾时，即为正整数的各分部量互不相同的分拆．我们记这类分拆数为Q舌}．显然，该分拆数有形式简洁^优美的生成函数Ⅱ(1+￡i)．但是，当咒，忌较大i一1时计算量也随之增加．下面我们给出该分拆数的一个递推关系．2有关Q器的若干结论我们用Q茬÷。，表示将记分拆成z项各分部量互不相同且分部量不超过五的分拆数；Q(丢萨2卜D表示将，z分拆成z项各分部量互不相同的奇数且分部量不超过2愚一1的分拆数；e{蓑萨2耵表示将扎分拆成

5、z项各分部量互不相同的偶数且分部量不超过2是的分拆数；簖(￡)是将正整数扎分拆成z项各分部量互不相同且分部量不超过是的分拆数数列．并约定：当刀一。时，所讨论的任意一种分拆数均为1．文献[2]已经给出了关于Q器，的一种递推关系：引理1[23Q毳：D—Q毳与'lf)+Q舌与上一，)．但是，上述递推关系的右边两个分拆数涉及到对扎与分部数Z之差尥一z的分拆，故不能由此关系式推导出Q(咒)的类似递推关系．下面我们给出该分拆数的另一种递推关系，从而给出Q器的一个递推关系．定理1是舔：D—Q舌％1+瞄：H，．(1)证明由于函数列{Q嚣(￡))。≥

6、。的生成函数收稿日期：2006一04—17．作者简介：郭育红(1970一)，女，甘肃宕昌人，河西学院数学系讲师，硕士，主要从事组合数学与图论方面的研究万方数据万方数据有关正整数的一类分拆数的计算作者：郭育红，GUOYu-hong作者单位：河西学院,数学系,甘肃,张掖,734000刊名：甘肃联合大学学报（自然科学版）英文刊名：JOURNALOFGANSULIANHEUNIVERSITY(NATURALSCIENCES)年，卷(期)：2006,20(5)被引用次数：2次参考文献(9条)1.孙世新组合数学20032.柯召;魏万迪组合论19

7、813.杨仕春关于A(n,6)与A(n,7)的精确公式与简单显式[期刊论文]-四川大学学报(自然科学版)2004(03)4.蔺大正A(n,4)与A(n,5)的精确公式与简单公式1998(05)5.伍期启快速造P(n,k)大表的左肩法则和斜线法则[期刊论文]-数学学报2001(05)6.wuQiqiRemarksoncomputationforpartsofP(n,k)1995(01)7.伍期启P(n,k)的记数及其良域[期刊论文]-数学研究与评论2001(02)8.伍期启p(n,k)的一个降部恒等式1993(04)9.伍期启P(n,

8、4)与A(n,4)的简单统一显式[期刊论文]-科学通报1996(10)引证文献(2条)1.许小芳有关整数分拆的一类计数公式[期刊论文]-黄石理工学院学报2009(6)2.许小芳有关正整数的一类分拆数递推公式的组合证明[期刊论文]-黄石