imo预选题2001(中文)

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1、2001IMOshortlist2001IMOshortlist(2001IMO备选题)Algebra（代数）A1.设T为所有非负三元有序数组（p，q，r）的集合。找出所有的函数f：T®Â，使得：ì0，当pqr=0时ï1ï1+{f（p+1，q-1，r）+f（p-1，q+1，r）f（p，q，r）=í6ï+f（p-1，q，r+1）+f（p+1，q，r-1）ïî+f（p，q+1，r-1）+f（p，q-1，r+1）}，其他情况时成立。A2.设a,a,a,L是任意正数的无限序列。证明：有无穷多个n使得不012等式n1+a>a2成立。nn-1A

2、3.设x,x,L,x为任意实数。证明：12nxxx12n++L+

3、（选为IMO第2题）222a+8bcb+8cac+8abCombinatorics（组合学）C1.设A=(a,a,...,a)为一正整数序列，m为其三元子序列(a,a,a)122001ijk的数目，这里1£i

4、临数学竞赛论坛2001IMOshortlistC3.一个k人小圈子是在这k个人里每对人都互相熟悉。在一个聚会中，任意两个3人小圈子里，至少有一个人属于这两个小圈子；没有5人小圈子。证明：在这次聚会中有两个人或更少的人不属于任何3人小圈子。C4.一个三元非负整数集{x,y,z}其中x

5、n，一个0，1序列称为是平衡的如果序列中包含n个1和n个0。两个平衡序列a和b称为是相邻的，如果移动a的一个符号到另一位置就可以得到b。例如，当n=4,两个平衡序列01101001和00110101是相邻的，因为当第一个序列的第三（或四）个0移动到第一或第二个位置时，第一个序列就变成了第二个序列了。证明：存1æ2nö在一个最多含有ç÷个平衡序列的集合S，使得每个平衡序列在ç÷n+1ènøS中或至少和S中的一个相邻。3/7欢迎光临数学竞赛论坛2001IMOshortlistC7.n个小石子放成垂直的一列。这种结构可按下述规则修改：一个

6、小石子是可以移动的，如果它位于一列的顶端且比它右边的列至少多两个小石子（如果右边没有小石子，则认为这列有0个小石子），每步选择一个可以移动的（如果有的话）小石子移到它右边列的顶端；如果没有小石子可以移动了，称这个结构是终极结构。证明，对任意n总会出现终极结构，且终极结构唯一。描述n个小石子的这种结构。另一版本。有2001块小石放为一垂直的列。这种结构可按下述规则修改：一个小石子是可以移动的，如果它位于一列的顶端且比它右边的列至少多两个小石子（如果右边没有小石子，则认为这列有0个小石子），每步选择一个可以移动的（如果有的话）小石子移到

7、它右边列的顶端。如果没有小石子可以移动了，称这个结构是终极结构。证明:对任意n总会出现终极结构，且终极结构唯一。描述这种结构如下：找出数c，对i=1,2,L,c每列非空；找出每列的小石子数p，其中i第1列在最左边，第2列在第1列的右边，余此类推。C8.21个女孩和21个男孩结对参加一次数学竞赛。其结果如下：（a）每个参赛者最多解出6道题；且（b）对每对女孩和男孩，至少有1题被他们都解出来。证明：有一题被至少3个女孩和3个男孩解出。（选为IMO第3题）4/7欢迎光临数学竞赛论坛2001IMOshortlistGeometry（几何）G

8、1.设点A为锐角三角形ABC的内接正方形的中心，且正方形的两个1顶点在BC上，另两个分别在AB和AC。类似地定义点B和C也为三11角形ABC内接正方形的中心，其正方形的两个顶点分别在AC和AB上。证明：AA、BB和CC三线共点。111