第48届imo预选题四

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1、81中等数学竞赛之窗第48届IMO预选题(四)李建泉译(天津师范大学数学教育科学与数学奥林匹克研究所,300387){1,2,⋯,n}中的数被染成红色或蓝色,并满组合部分足下列条件:集合S×S×S恰包含2007个1.已知n是大于1的整数.求满足下列有序三元数组(x,y,z),使得条件的所有数列a1,a2,⋯,a2.(1)x、y、z同色;n+n(2)x+y+z可以被n整除.(1)ai∈{0,1},对于所有满足1≤i≤n2+n的i成立;4.设A0=(a1,a2,⋯,an)是实数数列.(2)ai+1+ai+2+⋯+a

2、i+n对于每个非负整数k,由数列Ak=(x1,x2,1)个(1)选择{1,2,⋯,n}的一个分割I∪J,矩形,每个矩形的边与单位正方形的边平行.满足I∩J=Á,I∪J={1,2,⋯,n},表达式任意一条与单位正方形的边平行,且过正方∑xi-∑xj取得最小值(允许I或J是形内部的点的直线也过某个矩形内部的点.i∈Ij∈J证明:存在一个矩形,其内部及

3、边界上的点都空集,这种情况的和为0),如果有多于一个不是单位正方形边界上的点.这样的分割,任意选其中的一个;3.求所有的正整数n,使得集合S=(2)设数列Ak+1=(y1,y2,⋯,yn),其中,个砝码称量重为w(1≤w≤Fn+2-1-Fn+1的n个砝码,任意去掉两个,仍能称出重为=Fn-1

4、12个砝码来称量出的.F4=3,F5=5,F6=8,F7=13,这几道题的解答过程几乎都是先枚举尝F8=21,F9=34,F10=55.试,发现规律为斐波那契数列后,再进行归纳证明,这反映了“探索———猜想———证明”的其中任意去掉一个,仍可以称量重为w解题步骤.(1≤w≤F11-1=89-1=88)的物体.参考文献:对于(2),可以构造广义斐波那契数列:[1]武炳杰.从无穷递降法到递推数列[J].中等数学,g(n)=g(n-1)+g(n-3)(n≥4),2008(5).g(1)=g(2)=g(3)=1.[2]

5、吴振奎.斐波那契数列[M].沈阳:辽宁教育出版社,1987.用与(1)类似的方法,可以说明对于这样©1994-2008ChinaAcademicJournalElectronicPublishingHouse.Allrightsreserved.http://www.cnki.net2008年第11期91若i∈I,则yi=xi+1,若i∈J,则yi=xi-1.特别地,若k=l,则S(k,l]=0.证明:存在整数k,使得数列Ak中包含于是,条件(2)可改写为对于任意满足2n0≤i≤n-n的i,有一项x,满足

6、x

7、

8、≥.2S(i,i+n]

9、n≤x

10、≤n的整数v,有6.本届IMO第3题.S(vn,(v+1)n]=v.223-5特别地,S(0,n]=0,S(n,n+n]=n.7.设正实数α<.证明:存在正整2从而,a1=a2=⋯=an=0,n数n、p(p>α·2),使得在集合{1,2,⋯,n}a2=a2=⋯=a2=1.n+1n+2n+n中可以选取2p个两两不同的子集将数列{ai}分成n+1个部分,每部分中S1,S2,⋯,Sp,T1,T2,⋯,Tp,包含{ai}的连续的n项,并记它们为第0部满足对于任意的1≤i、j≤p,有Si∩Tj≠Á.分到第n部分.8.已知

11、P为平面上的一个凸n边形,考下面证明:第v部分为(0,0,⋯,0,1,1,⋯,1).虑以P的顶点为顶点的三角形.若所有的边n-v个v个都是单位长,则称这样的三角形为“好的”.证当v=0时,结论成立.2n假设v-1时,结论成立.明:好的三角形的数目不超过.3对于v>0时,第v部分包含v个1.设第一个1在第u个位置,即au+vn=1.由归纳假参考答案设可知第v-1部分和第v部分为1.这样的