第45届imo预选题中

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1、32中等数学第45届IMO预选题(中)李建泉　译(天津师范大学数学教育科学与数学奥林匹克研究所,300074)所有的n(n≥2)、k的值,使得这样的染色是组合部分可以实现的.1.一所大学有10001名学生,一些学生3.对一个有限图可以进行如下操作:选一起参加并成立了几个俱乐部(一个学生可择任意一个长度为4的回路,任意选择这个以属于不同的俱乐部),有些俱乐部一起加入回路中的一条边,并将其从图中删掉.对于固并成立了几个社团(一个俱乐部可以属于不定的整数n(n≥4),若将n个顶点的完全图同的社团).已知共有k个社团.假设满足下重复进行如上的操作,求所得图q的边的数列条件:目的最小值.(1)每一对学生

2、(即任意两个学生)都恰4.考虑一个n×n的矩阵,其每一项元属于一个俱乐部;素都是绝对值不超过1的实数,且所有元素(2)对于每个学生和每个社团,这个学生的和是0.设n是正偶数,求c的最小值,使恰属于这个社团的一个俱乐部;得每个这样的矩阵都存在一行或一列,其上(3)每个俱乐部有奇数个学生,且有2m元素和的绝对值不超过c.+1个学生的俱乐部恰属于m个社团,其中5.设N是一个正整数,甲、乙两名选手m是正整数.轮流在黑板上写集合{1,2,⋯,N}中的数,甲求k的所有可能的值.先开始,并在黑板上写了1,然后,如果一名2.设n、k是正整数.已知平面上有n个选手在某次书写中在黑板上写了n,那么,他圆,每两个圆

3、有两个不同的交点,它们确定的的对手可以在黑板上写n+1或2n(不能超所有交点是两两不同的.每个交点必须被染过N).规定写N的选手赢得比赛.我们称N上n种不同的颜色之一,使得每种颜色至少是A型的(或B型的),是根据甲(或乙)有赢用一次,每个圆上恰用k种不同的颜色.求得比赛的策略.显然,m=13时,取d=3,a=41满足本题条件.≥33333(a+b+c)因此,n的最大值为26.2八、令a=sinα,b=sinβ,c=sinγ,则a、b、c∈33=.(0,1)且2333注意到a+b+c=1,2232222tan2α=sinα=a,a-a=×2a(1-a)1-sin2α1-a222222232sin

4、βb≤2×2a+1-a+1-a=23.tanβ=2=2,2391-sinβ1-b222sinγc同理,b-b3≤23,323tanγ=2=2,c-c≤.1-sinγ1-c99a2b2c222233所以,tanα+tanβ+tanγ≥.故2+2+221-a1-b1-c333注:易知上述不等式等号不能成立.abc=3+3+3(吴伟朝　提供)a-ab-bc-c©1994-2007ChinaAcademicJournalElectronicPublishingHouse.Allrightsreserved.http://www.cnki.net2005年第10期33(1)问N=2004是A型的还是B型

5、的?个或2个元素.显然,k≤n,k≥2.如果k=1,则所有(2)求最小的N(N>2004),使得N与交点都同色,与颜色的种数n≥2矛盾.2004的类型不同.首先证明,k=2时,n可以为2和3.6.对于一个m×m的矩阵A,设Xi为第如果n=2,则F(1,2)={1,2}满足条件.设当k=2时,对于某个n≥3,存在满足条件的一种染色i行中的元素构成的集合,Yj是第j列中的方式.则每个圆上恰出现n种颜色中的两种颜色,这元素构成的集合,1≤i、j≤m.如果X1,X2,n种颜色的每一种至少出现在两个这样的由两种颜⋯,Xm,Y1,Y2,⋯,Ym是不同的集合,则称A色构成的集合中(这是因为每个被染色的点在2

6、个是“金色的”圆上).于是,每种颜色恰属于2个集合,即它恰在2.求最小的正整数n,使得存在一个圆上.对于i(i=2,3,⋯,n),选择第1个圆和第i个2004×2004的“金色的”矩阵,其每一项个圆的1个交点,则这n-1个点的颜色两两不同,元素均属于集合{1,2,⋯,n}.否则,同一种颜色会出现在多于2个圆上.所以,n-7.本届IMO第3题.1≤2.因为n≥3,于是,有n=3.8.已知一个有限图G,设f(G)是图G当k=2,n=3时,F(1,2)={3},F(2,3)={1},中的3阶完全图的个数,g(G)是图G中的4F(3,1)={2}即为满足条件的一种染色方式.阶完全图的个数.求最小的常数

7、c,使得对于其次证明,当3≤k≤n时,存在满足条件的一每个图G,有种染色方式.(g(G))3≤c(f(G))4.对k用数学归纳法,且稍微加强一些,使之满足对于3≤k≤n,存在满足条件的一种染色方式且有参考答案颜色i在第i个圆上出现,其中i=1,2,⋯,n.下面是奠基的情形,即k=3,n≥3.1.用n代替10001,且用两种方法计算有序三当n=3时,F(1,2)={1,2},F(2,3)={2,3}