对“流体连续性”困惑的探讨

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1、对“流体连续性”困惑的探讨　　一、一道高考题所引发的困惑　　2013年浙江高考理综试卷第25题是以超导磁流体推进技术为背景的物理综合题，原题如下：　　为了降低潜艇噪音，提高其前进速度，可用电磁推进器替代螺旋桨.潜艇下方有左、右两组推进器，每组由6个相同的用绝缘材料制成的直线通道推进器构成，其原理示意图如图1.在直线通道内充满电阻率ρ=0.2Ωm的海水，通道中a×b×c=0.3m×0.4m×0.3m的空间内，存在由超导线圈产生的匀强磁场，其磁感应强度B=6.4T、方向垂直通道侧面向外.磁场区域上、下方各有a×b=

2、0.3m×0.4m的金属板M、N，当其与推进器专用直流电源相连后，在两板之间的海水中产生了从N到M，大小恒为I=1.0×103A的电流，设该电流只存在于磁场区域.不计电源内阻及导线电阻，海水密度ρm≈1.0×103kg/m3，求：（前两个小问题此处省略）　　（3）当潜艇以恒定速度v0=30m/s前进时，海水在出口处相对于推进器的速度v=34m/s，思考专用直流电源所提供的电功率如何分配，求出相应功率的大小.　　此题显然是在实施素质教育背景下选拔物理高素质学生的立意新颖试题，袁张瑾[1]已经撰文证明了此题在非常理

3、想条件下的电源能量分配转化的正确性和完备性.但高考后有学生尤其是不少物理教师产生这样的困惑：题中条件和示意图右边放大图显示磁推进管为矩形管形状，而磁推进管进水口与出水口流体速度相对于船有明显的不同，似乎与流体的流动连续性原则相矛盾.本文作者无意也无力解决流体工程实际问题，仅想在极端理想的流体模型上用中学基本物理原理尝试探讨海水流动连续性问题，目的是抛砖引玉，与同行商讨如何更好地解决与之相关的困惑.　　二、磁流体推进管几何形状的数学方程推导　　基于中学阶段师生对流体力学知识理解与掌握的现状考虑，数学推导将建立在流

4、体与推进管之间无任何作用的非常理想模型之上，即：管壁除给流体提供电流外，对流体的流动可认为无任何约束，管中流体流动如同二维空间内的自由稳定流动.有动力驱动时，流线密度会随着流速增大而相应增加，流线因此弯曲并收窄，如图2.[注1].　　建立如下流体模型：假设①海水为理想流体，即海水完全不可压缩和完全无粘滞性，同时忽略海水与管壁之间的粘滞阻力作用；②海水通过推进管的运动方式为稳流运动；③不考虑因海水电解而形成的气泡对海水流动的影响，不考虑其他引起海水湍流运动的可能因素.　　设船匀速行驶，以船为参照系，船为惯性参照系

5、.设通过电极的合理设计，使电流通过推进管内的海水时各处具有相同的电流密度j==j0.　　图3所示为磁流体推进管的主视图，设其上、下管壁以函数y=f（x）曲线分布，以阴影部分表示的流体微元作为分析对象，流体微元在时间微元Δt内完成加速.图4为磁流体推进管侧视图（为方便分析，假设截面为矩形）.　　通过流体微元的电流强度：ΔI=ΔS?j0=z0?Δx?j0=z0?（x′-x）?j0　　流体所受的安培力：F安=BIL=B?z0?Δx?j0?2y=2（B?z0?j0）y?Δx（1）　　设流体微元左右压力差为零，管壁侧面压

6、力与流速垂直且相互平衡，则：F合=F安.　　1.分析角度一：流体动量变化　　由动量定理得：F安?Δt=ΔP=m?Δv（2）　　其中m=2ρyz0Δx（3）　　将（1）（3）式代入（2）式得：=（4）　　式中：ρ为海水密度，j0为电流密度；B为磁感应强度；以上各量均为定值，a=.　　因此，（4）式表明海水在推进管中做匀加速直线运动的加速度.　　2.分析角度二：流体的连续性　　设微元流体流过截面s1和s2的速度分别为v1和v2，所用时间为Δt.　　由流体的连续性可得：ρs1v1Δt=ρs2v2Δt，化简得s1v1=

7、s2v2，或2yz0v1=2y′z0v2，即yv1=y′v2　　令：yv1=y′v2=k（5）k为定值，单位：m2/s.　　3.分析角度三：流体能量变化　　由动能定理得：　　W安=F安?Δs=2（B?z0?j0）y?Δx?Δs（6）　　W安=ΔEk=m-m（7）　　∵=（v1+Δv）2=+2v1?Δv+（Δv）2　　∴ΔEk=m（-）=m（2v1?Δv+（Δv）2）　　因为流体微元运动时间极短，Δv远小于v，忽略高阶小量（Δv）2后　　ΔEk≈mv1?Δv=2ρyz0Δxv1?Δv（8）　　（6）（8）式代入（

8、7）式得：?Δs=-　　由几何关系得：Δs=Δx，上式化为?Δx=v1?Δv（9）　　取y轴正向的曲线进行分析：由（5）式可得v1Δv≈-，该式代入（9）式得　　?Δx=-（10）　　由于以上运动在极短时间内完成，（10）式可改写为dx=-dy（11）　　两边同时积分，即：dx=-dy　　?x=-（12）　　式中：k为比例系数；y0为进水口高度的一半，B、j0、ρ、k、y0均为定值.