时频分析与小波变换的发展历程

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1、[转载]时频分析与小波变换的发展历程已有1441次阅读2010-6-1313:07

2、个人分类:学术

3、系统分类:科研笔记

4、关键词:时频分析，发展傅立叶分析的发展历程 1807年，法国学者Fourier指出任何周期函数都可以用一系列正弦波来表示，开创了傅立叶分析。 （1）操作过程：从数学角度而言，对一个函数进行傅立叶变换（Fourier Transform，FT）。从信号处理的角度而言，对任意信号f(t) 的频谱F(ω)进行分析。 （2）优点：能够准确刻画平稳信号在整个 时（空）域的频率性质。 （3）缺点：不能反映非平稳信号在局部区域的频域特征及其对应关系，即FT在时域没有任何分辨率，无法确定

5、信号奇异性的位置。 [转载]时频分析与小波变换的发展历程已有1441次阅读2010-6-1313:07

6、个人分类:学术

7、系统分类:科研笔记

8、关键词:时频分析，发展傅立叶分析的发展历程 1807年，法国学者Fourier指出任何周期函数都可以用一系列正弦波来表示，开创了傅立叶分析。 （1）操作过程：从数学角度而言，对一个函数进行傅立叶变换（Fourier Transform，FT）。从信号处理的角度而言，对任意信号f(t) 的频谱F(ω)进行分析。 （2）优点：能够准确刻画平稳信号在整个 时（空）域的频率性质。 （3）缺点：不能反映非平稳信号在局部区域的频域特征及其对应关系，即FT在时域没有

9、任何分辨率，无法确定信号奇异性的位置。    1946年，Gabor提出了短时傅立叶变换（Short Time Fourier Transform，STFT）。 （1）操作过程：对信号进行加窗，再对加窗后的信号进行傅立叶变换，从而得到信号在局部区域的频谱。 （2）优点：能够分析信号局部频域特征。 （3） 缺点：由于STFT中时间窗的宽度与频率无关，它仍然是一种恒分辨率分析。 1948年，Ville提出了维格纳-威尔分布（Wigner-Ville Distribution，WVD），并引入时频信号分析。 （1）操作过程：信号中心协方差函数的傅立叶变换。 （2）优点：具有对称性、时移不变性、真

10、边缘性、平均瞬时频率等优良性质，WVD的时频分辨率比STFT的分辨率高。 （3）缺点：存在交叉干扰项（Cross-Term Interference，CTI），这是二次型时频分布的固有结果，大量的CTI会淹没或严重干扰信号的自项，模糊信号的原始特征。  小波分析的发展历程 一、    小波分析 1910年，Haar提出了L2(R)中第一个小波规范正交基，即Haar正交基。 （1）操作过程：Haar正交基是以一个简单的二值函数作为母小波经平移和伸缩而形成的。 （2）优点：Haar小波变换具有最优的时（空）域分辨率。 （3）缺点：Haar小波基是非连续函数，因而Haar小波变换的频域分辨率非常

11、差。 1936年，Littlewood和Paley对傅立叶级数建立了二进制频率分量分组理论，（即L-P理论：按二进制频率成分分组，其傅立叶变换的相位并不影响函数的大小和形状），这是多尺度分析思想的最早起源。 1952年～1962年，Calderon等人将L-P理论推广到高维，建立了奇异积分算子理论。 1965年，Calderon发现了著名的再生公式，给出了抛物型空间上H1的原子分解。 1974年，Coifman实现了对一维空间和高维空间的原子分解。 1976年，Peetre在用L-P理论对Besov空间进行统一描述的同时，给出了Besov空间的一组基。 1981年，Stromberg引入了

12、Sobolev空间Hp的正交基，对Haar正交基进行了改造，证明了小波函数的存在性。 1981年，法国地球物理学家Morlet提出了小波的正式概念。 1985年，法国数学家Meyer提出了连续小波的容许性条件及其重构公式。 1986年，Meyer在证明不可能存在同时在时频域都具有一定正则性（即光滑性）的正交小波基时，意外发现具有一定衰减性的光滑性函数以构造L2(R)的规范正交基（即Meyer基），从而证明了正交小波系的存在。 1984年～1988年，Meyer、Battle和Lemarie分别给出了具有快速衰减特性的小波基函数：Meyer小波、Battle-Lemarie样条小波。 198

13、7年，Mallat将计算机视觉领域中的多尺度分析思想引入到小波分析中，提出了多分辨率分析的概念，统一了在此前的所有具体正交小波的构造，给出了构造正交小波基的一般方法，提出了快速小波变换（即Mallat算法）。它标志着第一代小波的开始？ （1）操作过程：先滤波，再进行抽二采样。 （2）优点：Mallat算法在小波分析中的地位相当于FFT在经典傅立叶分析中的地位。它是小波分析从纯理论走向实际应用。 （3）缺点：以傅立叶变换为