§3.1.2空间向量的数乘运算

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1、§3.1.2空间向量的数乘运算§312空间向量的数乘运算【学情分析】：本节，空间向量的数乘运算共有4个知识点：空间向量的数乘、共线向量或平行向量、方向向量与共面向量、空间向量的分解定理这一节是全的重点，有了第一节空间向量加减法的基础，我们就很容易把平面向量及其运算推广到空间向量由于本教材学习空间向量的主要目的是，解决一些立体几何问题，所以例习题的编排也主要是立体几何问题当我们把平面向量推广到空间向量后，很自然地要认识空间向量的两个最基本的子空间：共线向量和共面向量把平行向量基本定理和平面向量基本定理推广到空间然后由这两个定理推出

2、空间直线和平面的向量表达式有了这两个表达式，我们就可以很方便地使用向量工具解决空间的共线和共面问题【教学目标】：（1）知识与技能：掌握空间向量的数乘运算（2）过程与方法：进行类比学习，会用空间向量的运算意义和运算律解决立几问题（3）情感态度与价值观：会用平面的向量表达式解决共面问题【教学重点】：空间向量的数乘运算及运算律【教学难点】：用向量解决立几问题【教学过程设计】：教学环节教学活动设计意图一．温故知新1、空间向量的数乘运算，其模长是的倍（1）当时，与同向（2）当时，与反向2、空间向量的数乘分配律和结合律（1）分配律：（2）结

3、合律：3、共线向量或平形向量类似于平面向量共线，对空间任意两个向量，的充要条是存在实数，使以数乘向量及其运算律为突破口，与平面向量进行比较学习，为下面引出共面向量作铺垫。二．新讲授1、方向向量如果为经过已知点A且平行于已知非零向量的直线，对于任意一点，点P在直线上的充要条是存在实数t满足等式．其中向量叫做直线的方向向量在上取，则上式可化为证明：对于空间内任意一点，三点共线由此可见，可以利用向量之间的关系判断空间任意三点共线，这与利用平面向量判断平面内三点共线是一样的。回顾平面向量的基本定理：共面向量定理如果两个向量不共线，那么向

4、量与向量共面的充要条是存在有序实数组，使得，这就是说，向量可以由不共线的两个向量线性表示。由此可以得到空间向量共面的证明方法2、空间平面AB的向量表示式空间一点P位于平面AB内的充要条是存在有序实数对x，使得：，或对空间任意一点有：。方向向量的引入是为了更好的说明三点共线的向量充要条，作为特色班，可以根据实际情况补充证明过程。回顾平面向量的基本定理可以发现，平面中的基底理论成了空间向量关系的一种特殊情况——共面的证明方法，这正是由特殊到一般，由简单到复杂的一种推广，对今后理解空间向量的基底理论也是有一定辐射作用的。推论：已知空间

5、任意一点和不共线的三点A，B，，则点P与点A，B，共面的充要条是证明：略本探究可以在老师的启发下，给学生自己证明，不同层次可以酌情考虑是否证明。三．典例讲练例1．一直平行四边形ABD，过平面A外一点做射线A，B，，D，在四条射线上分别取点E，F，G，H，且使，求证：E，F，G，H四点共面分析：欲证E，F，G，H四点共面，只需证明，，共面。下面我们利用，，共面证明。证明：因为，所以，，，，由于四边形ABD是平行四边形，所以，因此，由向量共面的充要条知E，F，G，H四点共面进一步：请学生思考如何证明：面A//面EG四．练习巩固1、如

6、图，已知空间四边形ABD，连结A，BD，E，F分别是B，D的中点，化简下列各表达式，并标出化简结果的向量。（1）（2）（3）巩固知识，注意向量运算律的使用3、略解：（1）（2）2、本P89练习2-33、已知E、F、G、H分别是空间四边形ABD的边AB、B、D、DA的中点，用向量方法证明（1）E、F、G、H四点共面（2）A∥平面EFGH得EF∥A，A平面EFGH，则A∥平面EFGH五．小结1．空间向量的数乘运算2．空间向量的运算意义和运算律解决立几问题3．平面的向量表达式解决共面问题归纳知识反思方法，特点。六．作业本P97习题31

7、，A组第1题（3）、（4），第2题练习与测试：（基础题）1．已知空间四边形，连结，设分别是的中点，化简下列各表达式，并标出化简结果向量：（1）；AD（2）；AG（3）．G（中等题）2、在平行六面体ABD－A1B11D1中，向量、、是（）A．有相同起点的向量B．等长向量．共面向量D．不共面向量3．直三棱柱AB—A1B11中，若（）A．B．．D．