3.1.2空间向量的数乘运算

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1、3．1.2　空间向量的数乘运算空间中有向量a，b，c(均为非零向量)．问题1：向量a与b共线的条件是什么？提示：存在唯一实数λ，使a＝λb.问题2：空间中任意两个向量一定共面吗？任意三个向量呢？提示：一定；不一定．问题3：空间两非零向量a，b共面，能否推出a＝λb(λ∈R)?提示：不能．1．空间向量的数乘运算(1)定义：实数λ与空间向量a的乘积λa仍然是一个向量，称为向量的数乘运算．(2)向量a与λa的关系：λ的范围方向关系模的关系λ>0方向相同λa的模是a的模的

2、λ

3、倍λ＝0λa＝0，其方向是任意的λ<0方向相反(3)空间向量的数乘运算律设λ，μ是实数，

4、则有①分配律：λ(a＋b)＝λa＋λb.②结合律：λ(μa)＝(λμ)a.2．共线向量共线(平行)向量共面向量定义表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向量或平行向量平行于同一个平面的向量叫做共面向量充要条件对于空间任意两个向量a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是存在实数λ使a＝λb.若两个向量a，b不共线，则向量p与a，b共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x，y)，使p＝xa＋yb.推论如果l为经过点A平行于已知非零向量a的直线，那么对于空间任一点O，点P在直线l上的充要条件是存在实数t，使＝＋ta，①其中a叫做直线l的方

5、向向量，如图所示.若在l上取＝a，则①式可化为＝＋t.如图，空间一点P位于平面MAB内的充要条件是存在有序实数对(x，y)，使＝x＋y，或对空间任意一点O来说，有＝＋x＋y.1．λa是一个向量．当λ＝0或a＝0时，λa＝0.2．平面向量的数乘运算的运算律推广到空间向量的数乘运算，结论仍然成立．3．共线向量的充要条件及其推论是证明共线(平行)问题的重要依据，条件b≠0不可遗漏．4．直线的方向向量是指与直线平行或共线的向量．一条直线的方向向量有无限多个，它们的方向相同或相反．5．共面向量的充要条件给出了空间平面的向量表示式，说明空间中任意一个平面都可以由一点及

6、两个不共线的平面向量表示出来．另外，还可以用＝x＋y＋z，且x＋y＋z＝1判断P，A，B，C四点共面．空间向量的线性运算[例1]　如图所示，在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，＝，＝2.设＝a，＝b，＝c，试用a，b，c表示.[思路点拨]　先利用三角形法则进行向量的加减运算，将表示成其他向量，然后进一步用a，b，c表示.[精解详析]　如图所示，连接AN，则＝－＝＋－＝＋－(＋)＝＋(－)－(＋)＝c＋(b－c)－(a＋b)＝－a＋b＋c.[一点通]　用已知向量表示未知向量，体现了向量的数乘运算．解题时要结合具体图形，利用三角形法则、平行四边形法则，将

7、目标向量逐渐转化为已知向量．本题也可以先将表示为＝＋＋.1.如图所示，在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，M为AC与BD的交点．若＝a，＝b，＝c，则下列向量中与相等的向量是(　　)A．－a＋b＋cB.a＋b＋cC.a－b＋cD．－a－b＋c解析：＝＋＝＋(－)＝＋－＝－a＋b＋c.答案：A2．已知P是正方形ABCD所在平面外一点，P在平面ABCD上的射影恰好是正方形ABCD的中心O，Q是CD的中点，求下列各式中x，y的值：(1)＝＋x＋y；(2)＝x＋y＋.解：(1)∵＝－＝－(＋)＝－－，∴x＝y＝－.(2)∵＋＝2，∴＝2－.又∵＋＝2，∴＝2

8、－.从而有＝2－(2－)＝2－2＋.∴x＝2，y＝－2.向量共线问题[例2]　如图所示，已知四边形ABCD，ABEF都是平行四边形且不共面，M，N分别是AC，BF的中点，判断与是否共线．[思路点拨]　→＝＋→根据M，N的位置表示出→根据与的关系作出判断[精解详析]　∵M，N分别是AC，BF的中点，四边形ABCD，ABEF都是平行四边形，∴＝＋＋＝＋＋＝(－)＋＋(＋)＝＋＋＝(＋)＝.∴∥，即与共线．[一点通]　判定向量共线就是充分利用已知条件找到实数x，使a＝xb成立，同时要充分利用空间向量运算法则，结合具体的图形，化简得出a＝xb，从而得出a∥b，即a

9、与b共线．3．已知空间向量a，b，且＝a＋2b，＝－5a＋6b，＝7a－2b，则一定共线的三点是(　　)A．A，B，D　　　　　　　　　B．A，B，CC．B，C，DD．A，C，D解析：＝＋＝(－5a＋6b)＋(7a－2b)＝2a＋4b＝2，∴A，B，D三点共线．答案：A4.已知四边形ABCD是空间四边形，E，H分别是边AB，AD的中点，F，G分别是边CB，CD上的点，且＝，＝.求证：四边形EFGH是梯形．证明：∵E，H分别是AB，AD的中点，∴＝，＝，＝－＝－＝(－)＝＝(－)＝(－)＝(－)＝，∴∥且

10、

11、＝

12、

13、≠

14、

15、.又点F不在上，∴四边形EFGH是梯形

16、.向量共面问题[例3]　对于任意空间四边形ABCD，E，F分别是A