备战2018年高考数学一轮复习（热点难点）专题34 等差数列与等比数列问题的精彩妙解

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1、专题34等差数列与等比数列问题的精彩妙解考纲要求:1.理解等差(比）数列的概念(定义、公差、等差中项)．掌握等差(比）数列的通项公式与前n项和公式；2.能在具体的问题情境中识别数列的等差(比）关系，并能用有关知识解决相应的问题；3.了解等差数列与一次函数的关系．了解等比数列与指数函数的关系．4.掌握等差(比）数列的性质及其应用．基础知识回顾:一、等差(比）数列的定义通项公式及前n项和公式1.等差数列（1）定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列．表示为an＋1－an＝d(n∈N*，d为常数)．（提示：要注意定义中的“从第2项起”．

2、如果一个数列不是从第2项起，而是从第3项或第4项起，每一项与它前一项的差是同一个常数，那么此数列不是等差数列）．（2）等差中项：数列a，A，b成等差数列的充要条件是A＝，其中A叫作a，b的等差中项．（3）通项公式：an＝a1＋(n－1)d.4．前n项和公式：Sn＝na1＋d＝.2等比数列（1）定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一常数(不为零)，那么这个数列就叫做等比数列．定义的表达式为＝q.（2）等比中项：G是a与b的等比中项⇔a，G，b成等比数列⇒G2＝ab.（提示：在等比数列中每项与公比都不为0）.（3）通项公式：an＝a1qn－1.前n项和公式：Sn＝二、

3、等差(比）数列的性质　1.数列{an}是等差数列，则其项的性质有：（1）an＝am＋(n－m)d，an＝An＋B等形式，d＝（其几何意义是点(n，an)，(m，am)所在直线的斜率等于等差数列的公差）．(2)若{an}为等差数列，且k＋l＝m＋n，(k，l，m，n∈N*)，则ak＋al＝am＋an.-13-(3)若{an}是等差数列，公差为d，则ak，ak＋m，ak＋2m，…(k，m∈N*)是公差为md的等差数列．　2.数列{an}是等差数列，则其和的性质有：（1）数列Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…也是等差数列.（2）前n项和公式Sn＝n2＋(a1－)n视为关于n的一元二次函数

4、，开口方向由公差d的正负确定；Sn＝中(a1＋an)视为一个整体，常与等差数列性质结合利用“整体代换”思想解题．（3）在等差数列{an}中，Sn为其前n项和，则①S2n＝n(a1＋a2n)＝…＝n(an＋an＋1)；②S2n－1＝(2n－1)an.(4)在等差数列{an}中，若项数为偶数2n的等差数列{an}：S2n＝n(a1＋a2n)＝…＝n(an＋an＋1)．S偶－S奇＝nd，＝.若项数为奇数(2n＋1)的等差数列{an}：S2n＋1＝(2n＋1)an＋1.＝.(其中S奇、S偶分别表示数列{an}中所有奇数项、偶数项的和)　3.数列{an}是等比数列，则其项的性质有：(1)若m＋n

5、＝p＋q＝2k(m，n，p，q，k∈N*)，则am·an＝ap·aq＝a；(2)在等比数列{an}中，等距离取出若干项也构成一个等比数列，即an，an＋k，an＋2k，an＋3k，…为等比数列，公比为qk；4.数列{an}是等比数列，则其和的性质有：(1)公比不为－1的等比数列{an}的前n项和为Sn，则Sn，S2n－Sn，S3n－S2n仍成等比数列，其公比为qn，当公比为－1时，Sn，S2n－Sn，S3n－S4n不一定构成等比数列．应用举例:类型一、等差数列的基本运算【例1】【安徽省“五校”2018届高三上学期联考】已知是公差为的等差数列，为的前项和，若，则（）A.B.C.D.【答案

6、】C【例2】【2017沈阳质量检测】设Sn为等差数列{an}的前n项和，若a1＝1，公差d＝2，Sn＋2－-13-Sn＝36，则n＝(　　)A．5B．6C．7D．8【答案】D【解析】法一：由题知Sn＝na1＋d＝n＋n(n－1)＝n2，Sn＋2＝(n＋2)2，由Sn＋2－Sn＝36得，(n＋2)2－n2＝4n＋4＝36，所以n＝8.法二：Sn＋2－Sn＝an＋1＋an＋2＝2a1＋(2n＋1)d＝2＋2(2n＋1)＝36，解得n＝8.【例3】【2017河北衡水中学模拟】已知Sn是数列{an}的前n项和，a1＝1，a2＝2，a3＝3，数列{an＋an＋1＋an＋2}是公差为2的等差数列，

7、则S25＝(　　)A．232B．233C．234D．235【答案】B【解析】由题可得a4＝3，所以a2＋a3＋a4＝8，∴S25＝a1＋(a2＋a5＋…＋a23)＋(a3＋a6＋…＋a24)＋(a4＋a7＋…＋a25)＝1＋＋＋＝23.点评：等差数列运算的解题思路及答题步骤(1)解题思路：由等差数列的前n项和公式及通项公式可知若已知a1，d，n，an，Sn中三个便可求出其余两个，即“知三求二”，“知三求二”的实质是方程思想，即建立方程组求解．如