现代信号处理(胡广书)第五章 信号的抽取与插值,上采样,下采样 理论

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1、第5章信号的抽取与插值5.1前言至今，我们讨论的信号处理的各种理论、算法及实现这些算法的系统都是把抽样频率视为恒定值，即在一个数字系统中只有一个抽样率。但是，在实际工作中，我们经常会遇到抽样率转换的问题。一方面，要求一个数字系统能工作在“多抽样率（multirate）”状态，以适应不同抽样信号的需要；另一方面，对一个数字信号，要视对其处理的需要及其自身的特征，能在一个系统中以不同的抽样频率出现。例如：1.一个数字传输系统，即可传输一般的语音信号，也可传输播视频信号，这些信号的频率成份相差甚远，因此，相应的抽样频率也相差甚远。因此，该系统应具有传输多种抽样率信号的能力，并自动地完成抽样率的

2、转换；2.如在音频世界，就存在着多种抽样频率。得到立体声声音信号（Studiowork）所用的抽样频率是48kHz，CD产品用的抽样率是44.1kHz，而数字音频广播用的是32kHz[15]。3.当需要将数字信号在两个具有独立时钟的数字系统之间传递时，则要求该数字信号的抽样率要能根据时钟的不同而转换；4.对信号（如语音，图象）作谱分析或编码时，可用具有不同频带的低通、带通及高通滤波器对该信号作“子带”分解，对分解后的信号再作抽样率转换及特征提取，以实现最大限度减少数据量，也即数据压缩的目的；5.对一个信号抽样时，若抽样率过高，必然会造成数据的冗余，这时，希望能在该数字信号的基础上将抽样率

3、减下来。以上几个方面都是希望能对抽样率进行转换，或要求数字系统能工作在多抽样率状态。近20年来，建立在抽样率转换理论及其系统实现基础上的“多抽样率数字信号处理”已成为现代信号处理的重要内容。“多抽样率数字信号处理”的核心内容是信号抽样率的转换及滤波器组。减少抽样率以去掉过多数据的过程称为信号的“抽取（decimatim）”，增加抽样率以增加数据的过程称为信号的“插值（interpolation）。抽取、插值及其二者相结合的使用便可实现信号抽样率的转换。149滤波器组，因名思义，它是一组滤波器，它用以实现对信号频率分量的分解，然后根据需要对其各个“子带”信号进行多种多样的处理（如编码）或传

4、输，在另一端再用一组滤波器将处理后的“子带”信号相综合。前者称为分析滤波器组，后者称为综合滤波器组。我们将在本章详细讨论抽样率转换的方法，在第6、第7及第8三章讨论滤波器组问题。5.2信号的抽取设，欲使减少M倍，最简单的方法是将中每M个点中抽取一个，依次组成一个新的序列，即n=-¥~+¥(5.2.1)现在我们证明，和的DTFT有如下关系：（5.2.2）证明：由（5.2.1）式，的变换为（5.2.3）为了导出和之间的关系，我们定义一个中间序列：(5.2.4)注意，的抽样率仍示，而的抽样率是。、及如图5.2.1（a），（b）和（c）所示，抽取的框图如图（d）所示。图中符号表示作M倍抽取。由该

5、图，显然，这样，有即(5.2.5)现在的任务是要找到和之间的关系。令为一脉冲序列，它在M的整数倍处的值为1，其余皆为零，其抽样频率也为。由1.8节的Possion和公式及DFS的理论，又可表示为：,(5.2.6)因为，所以：149即：(5.2.7)将该式代入（5.2.5）式，有(5.2.8)令代入此式，即得（5.2.2）式，证毕。（5.2.8）式又常写成如下形式(5.2.9)↓M图5.2.1信号抽取示意图，M=3,横坐标为抽样点数原信号，，抽取后的信号，（d）抽取的框图（5.2.2）式的含意是，将信号作M倍的抽取后，所得信号149的频谱等于原信号的频谱先作M倍的扩展，再在轴上作（）的移位

6、后再迭加。如图5.2.2的（a），（b），（c）,（d）及（e）所示。图5.2.2信号抽取后频谱的变化,图中由抽样定理，在由抽样变成时，若保证，那么抽样的结果不会发生频谱的混迭。对作M倍抽取得到，若保证由重建出，那么，的一个周期（）也应等于的频谱。这就要求抽样频率必须满足。图5.2.2正是这种情况。图中的频谱限制在内，而又正好作M＝3的抽取，因此中没有发生频谱的混迭，如图（e）所示。但是，如果的条件不能得到满足，那么中将发生混迭，因此也就无法重建出。如图5.2.3（a）所示，的频谱在149的范围内仍有值，因此，即使作M＝2倍的抽取，也必然发生混迭，如图（b）所示。由于M是可变的，所以很难

7、要求在不同的M下都能保证。为此，防止抽取后在中出现混迭的方法是在对抽取前先作低通滤波，压缩其频带，如图（c）所示。令为一理想低通滤波器，即(5.2.10)如图（d）所示，令滤波后的输出为，则令对抽取后的序列为，则（5.2.11）由前面的推导不难得出：(5.2.12a)及(5.2.12b)的频谱如图（e）所示，如图（f）所示。由该图可以看出，加上频带为（）的低通滤波器后，可以避免抽取后频谱的混迭。因此，在对信号抽取时，抽取前的低通滤波