x届高考数学（文）一轮复习训练手册 等比数列

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1、高效达标A组　基础达标（时间：30分钟　满分：50分）若时间有限，建议选讲4，6，8一、选择题（每小题5分，共20分）1.已知{an}为等比数列，若a4＋a6＝10，则a1a7＋2a3a7＋a3a9等于（D）A.10　　B.20　　C.60　　D.100解析：a1a7＋2a3a7＋a3a9＝a＋2a4a6＋a＝（a4＋a6）2＝100.2.在各项均为正数的等比数列{an}中，a1＝3，前三项的和S3＝21，则a3＋a4＋a5的值为（C）A.33　　B.72　　C.84　　D.189解析：由题意可知该等比数列的公比q≠1，故可由S3＝a1＋a2＋a3＝a1（1

2、＋q＋q2）＝21，得q2＋q－6＝0，解得q＝2或q＝－3（舍去）.∴a3＋a4＋a5＝3×（22＋23＋24）＝84，故选C.3.（x·佛山模拟）设{an}是公差不为0的等差数列，a1＝2且a1，a3，a6成等比数列，则{an}的前5项和S5等于　　（B）A.10　　B.15　　C.20　　D.30解析：设数列{an}的公差为d，则由a1，a3，a6成等比数列可得a＝a1a6，即（2＋2d）2＝2（2＋5d），故4d2－2d＝0，又d≠0，∴d＝，∴S5＝5a1＋d＝5×2＋10×＝15.4.（x·湖南调研）若等比数列{an}的公比q＝2，且前x项的积为

3、2x，则a3a6a9ax的值为（C）A.24　　B.26　　C.28　　D.2x解析：由等比数列定义知a1a4a7a10＝a3··a6··a9··ax·＝a3a6a9ax·，a2a5a8ax＝a3a6a9ax·，而a1a2a3…ax＝a3a6a9ax··a3a6a9ax··a3a6a9ax＝（a3a6a9ax）3＝2x，∴（a3a6a9ax）3＝224，a3a6a9ax＝28.二、填空题（每小题5分，共10分）5.（x·北京高考）若等比数列{an}满足a2＋a4＝20，a3＋a5＝40，则公比q＝　2　；前n项和Sn＝　2n＋1－2　.解析：a3＋a5＝q（

4、a2＋a4）代入得q＝2，再根据a2＋a4＝a1q＋a1q3＝20有a1＝2，∴an＝2n，利用求和公式可以得到Sn＝2n＋1－2.6.各项均为正偶数的数列a1，a2，a3，a4中，前三项依次成公差为d（d＞0）的等差数列，后三项依次成公比为q的等比数列.若a4－a1＝88，则q的所有可能的值构成的集合为　　.解析：依题意得，a2＝a1＋d，a3＝a1＋2d，a4＝＝.由a4－a1＝88，得－a1＝88，即a1＝≥2（其中d是正偶数），由此解得d＝24或d＝26或d＝28.当d＝24时，a1＝x，q＝；当d＝26时，a1＝41.6（舍去）；当d＝28时，a1

5、＝168，q＝.综上所述，q的所有可能的值构成的集合为.三、解答题（共20分）7.（10分）（x·天水模拟）已知数列{an}的首项为a1＝1，其前n项和为Sn，且对任意正整数n有：n，an，Sn成等差数列.（1）求证：数列{Sn＋n＋2}成等比数列；（2）求数列{an}的通项公式.解析：（1）∵n，an，Sn成等差数列，∴2an＝n＋Sn（n≥2），又an＝Sn－Sn－1（n≥2），∴2（Sn－Sn－1）＝n＋Sn即Sn＝2Sn－1＋n，（2分）∴Sn＋n＋2＝2Sn－1＋2n＋2，∴Sn＋n＋2＝2[Sn－1＋（n－1）＋2]，即＝2，（4分）∴数列{Sn

6、＋n＋2}成等比数列.（5分）（2）由（1）知{Sn＋n＋2}是以S1＋3＝a1＋3＝4为首项，2为公比的等比数列，∴Sn＋n＋2＝4·2n－1＝2n＋1，（7分）又2an＝n＋Sn，∴2an＋2＝2n＋1，∴an＝2n－1（n∈N*）.（10分）8.（10分）已知数列{an}的前n项和为Sn，且a1＝2，Sn＝an＋1＋n－2，n∈N*.（1）证明数列{an－1}是等比数列，并求数列{an}的通项公式；（2）设bn＝（n∈N*）的前n项和为Tn，证明Tn<6.解析：（1）∵Sn＝an＋1＋n－2，当n≥2时，Sn－1＝an＋（n－1）－2＝an＋n－3，两

7、式相减，得an＝an＋1－an＋1，即an＋1＝2an－1.（2分）设cn＝an－1，代入上式，得cn＋1＋1＝2（cn＋1）－1，即cn＋1＝2cn.又由Sn＝an＋1＋n－2，得an＋1＝Sn－n＋2，故a2＝S1－1＋2＝a1－1＋2＝3，显然c1＝a1－1＝1，c2＝a2－1＝2，故c2＝2c1.（4分）综上，对于n∈N*，cn＋1＝2cn都成立，故数列{cn}是等比数列，即数列{an－1}是等比数列，其首项c1＝1，公比q＝2.∴an－1＝1×2n－1，故an＝2n－1＋1.（5分）（2）由Sn＝an＋1＋n－2，得Sn－n＋2＝an＋1＝2n＋1

8、，故Sn－n＋1＝2n，∴bn＝.故Tn＝b1＋b2