正整数的一类三分拆的应用

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1、万方数据第22卷第3期2006年6月大学数学COI。I。EGEMATHEMATICSV01．22，№．3Jun．2006正整数的一类三分拆的应用郭育红1，(1．河西学院数学系，甘肃张掖734000；2．张先迪2电子科技大学应用数学学院，成都610054)[摘要]利用正整数”的一类特殊的3分拆”一”1+行z+”3，n1>卵2>"3≥1，且卵2+"3>起1的Ferrers图将不定方程4z。+3z。+2z。一卵(”≥9)的正整数解与这种分拆联系起来，从而得到了该不定方程的正整数解数公式；同时也给出了正整数”的一类4分拆的计数公式．此外，还

2、给出了周长为”的整边三角形的计数公式的一个简单证明．[关键词]各分部量互不相同的分拆；Ferrers图；不定方程；正整数解数；简单证明[中图分类号]0157[文献标识码]A[文章编号]1672—1454(2006)03一0111一041引言正整数卵的分拆是指将靠表示成一个或多个正整数的无序和．正整数门的志部分分拆是指将卵表示成志个正整数的无序和，这类分拆数记为P(n，尼)．分拆数P(咒，志)有很多应用，其中"的3部分分拆的一个典应用就是整边三角形的计数．所谓整边三角形是指边长为正整数的三角形．对于整边三角形的研究已经有很多结果[2^

3、5I，但是对于特殊的整边三角形的研究相对较少．本文通过对各部分互不相同的3分拆的研究，给出了整边非等腰三角形的一个计数公式．所谓各部分互不相同的3分拆即：行一卵，+卯2+押。，卵】>行2>行3≥1．这类分拆若再满足现+行3>卵1则对应一个以起为周长，以村l，行2，订3为边长的整边非等腰三角形．在这篇文章中我们还利用分拆的Ferrers图将3分拆与不定方程4z。+3z：+2z。一九(行≥9)的正整数解联系起来，给出了该不定方程的正整数解数公式，并利用Ferrers图给出了”的一类有关4分拆数的计数公式．同时我们也给出了整边三角形计数公

4、式的一个简洁证明．定义本文的记号如下：i)Q。(，z)表示将行分拆成3个互不相同的部分的分拆数；ii)F。(押)表示周长为押的整边非等腰三角形的个数；iii)[z]表示不超过z的最大整数；iv)(z)表示距离z最近的整数；v)T(卵)是周长为以的整边三角形的个数．2主要结果2．1周长为珂的整边三角形计数公式的一个简沽证明对于周长为"的整边三角形的个数的计数公式在文[2，4]分别给出了证明方法，但都较烦．文[2]虽然利用生成函数给出了初等的证明，可是计算量很大．下面我们给出整边三角形计数公式的简洁证明：弓I理1L1JT(2行)一P(咒

5、，3)．证设2押一咒1+咒2+靠3，行l≥行2≥押3，且卵2+行3>”l，令行l7一九一咒3，行27一押一卵2，靠37一九～卵1，则以17≥行27≥行37，且聍17+咒27+船37=3，z一(，z1+胛2+行3)一聍，胛37一卵一行l一(行1+心2+，z3)／2一挖l[收稿日期]2004—12—20万方数据H2大学数学第22卷一((行。+押。)一卵。)／2>o，所以卵一行。7+理：7+押。7是卵的一个3分拆．以上表明由2行的满足任两部分之和大于另一部分的3分拆可对应卵的一个3分拆；易知，2行的不同3分拆这样对应的咒的3分拆也不同．反

6、之，对行的任意一个3分拆，用同样的方法可以找到2卵的满足任两部分之和大于另一部分的3分拆与之对应．故结论成立．引理2[33P(托，3)一(篙>．引理3[2]T(2卵一3)一T(2咒)．<表)；当以为偶数，艘一@户1。警，；当蹦数．、证1。当靠为偶数时，由引理l，引理2即得结论；2。当行为奇数时，令行一2忌+1，忌≥3，由引理3有T(”)一T(2尼+1)一T(2是+4—3)一T(2矗+4)一T(n+3)，这时，2+3为偶数，再由引理2得mH等≯，故结论真．2．2关于Q3(”)的一个应用引理4周长为”的整边非等腰三角形△(m，卵：，订。

7、)与不定方程4z。+3z。+2z。=行的正整数解一一对应．证设△(卵l，卵2，押3)为周长是咒一以1+卵2+行3，且卵1>卵2>订3≥1，”2+卵3>行1的任一整边非等腰三角形，则订的这一个3部分分拆对应的Ferrers图与其共轭图如图1所示．●●●●⋯⋯●行，●●●●●●⋯⋯●竹。●●●●●⋯⋯●行。⋯⋯⋯●；●图1于是其共轭图表示将九分拆成y。个1，y：个2，y。个3的一个分拆，(其中y，≥1，i一1，2，3)且y，+yz+y3一九l，y2+y3一柙2，y3一卵3，因此有y1+2y2+3y3一卵，且满足y3>y1，y1，y2>o

8、．变形后得4y1+2y2+3(y3一y1)一卵，且y1>o，y2>o，y3一y1>o．令y1一zl，y3一y1一z2，y2一z3．于是就有4zl+322+223一九，z，≥1，i一1，2，3，(1)即有一组满足△(卵，，押。，卵。)的