2018版高中数学人教b版选修2-1学案:2.3.1 双曲线的标准方程

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1、2018年人教B版高中数学选修2-1学案2.3.1 双曲线的标准方程学习目标 1.了解双曲线的定义、几何图形和标准方程的推导过程.2.掌握双曲线的标准方程及其求法.3.会利用双曲线的定义和标准方程解决简单的问题.知识点一 双曲线的定义思考 如图,若取一条拉链,拉开它的一部分,在拉开的两边上各选择一点,分别固定在点F1,F2上,把笔尖放在点M处,拉开或闭拢拉链,笔尖经过的点可画出一条曲线,那么曲线上的点应满足怎样的几何条件?梳理 (1)平面内与两个定点F1,F2的距离的差的__________等于常数(小于

2、F1F2

3、且不等于零)的点的轨迹叫做双曲线.这两个定点叫做双曲线的________,两

4、焦点的距离叫做双曲线的________;(2)关于“小于

5、F1F2

6、”:①若将“小于

7、F1F2

8、”改为“等于

9、F1F2

10、”,其余条件不变,则动点轨迹是以F1,F2为端点的______________(包括端点);②若将“小于

11、F1F2

12、”改为“大于

13、F1F2

14、”,其余条件不变,则动点轨迹不存在.(3)若将“绝对值”去掉,其余条件不变,则动点的轨迹只有双曲线的________.(4)若常数为零,其余条件不变,则点的轨迹是________________________.知识点二 双曲线的标准方程思考1 双曲线的标准方程的推导过程是什么?112018年人教B版高中数学选修2-1学案思考2 双曲线

15、中a,b,c的关系如何?与椭圆中a,b,c的关系有何不同?梳理 (1)两种形式的标准方程焦点所在的坐标轴x轴y轴标准方程图形焦点坐标a,b,c的关系式(2)焦点F1,F2的位置是双曲线定位的条件,它决定了双曲线标准方程的类型.“焦点跟着正项走”,若x2项的系数为正,则焦点在________上;若y2项的系数为正,那么焦点在________上.(3)当双曲线的焦点位置不确定时,可设其标准方程为Ax2+By2=1(AB<0).(4)标准方程中的两个参数a和b,确定了双曲线的形状和大小,是双曲线的定形条件,这里的b2=________与椭圆中的b2=________相区别.类型一 双曲线的定义及应

16、用命题角度1 双曲线中焦点三角形面积问题例1 已知双曲线-=1的左,右焦点分别是F1,F2,若双曲线上一点P使得∠F1PF2=60°,求△F1PF2的面积.引申探究本例中若∠F1PF2=90°,其他条件不变,求△F1PF2的面积. 反思与感悟 求双曲线中焦点三角形面积的方法(1)方法一:112018年人教B版高中数学选修2-1学案①根据双曲线的定义求出

17、

18、PF1

19、-

20、PF2

21、

22、=2a;②利用余弦定理表示出

23、PF1

24、,

25、PF2

26、,

27、F1F2

28、之间满足的关系式;③通过配方,利用整体思想求出

29、PF1

30、·

31、PF2

32、的值;④利用公式求得面积.(2)方法二:利用公式(yP为P点的纵坐标)求得面积.特别提

33、醒:利用双曲线的定义解决与焦点有关的问题,一是要注意定义条件

34、

35、PF1

36、-

37、PF2

38、

39、=2a的变形使用,特别是与

40、PF1

41、2+

42、PF2

43、2,

44、PF1

45、·

46、PF2

47、间的关系.跟踪训练1 如图所示,已知F1,F2分别为双曲线-=1的左,右焦点,点M为双曲线上一点,并且∠F1MF2=θ,求△MF1F2的面积.命题角度2 利用双曲线定义求其标准方程例2 (1)已知定点F1(-2,0),F2(2,0),在平面内满足下列条件的动点P的轨迹中为双曲线的是(  )A.

48、PF1

49、-

50、PF2

51、=±3B.

52、PF1

53、-

54、PF2

55、=±4C.

56、PF1

57、-

58、PF2

59、=±5D.

60、PF1

61、2-

62、PF2

63、2=±4(2)在平面直

64、角坐标系中,点A,B的坐标分别为(-5,0),(5,0),直线AM、BM相交于点M,且它们的斜率之积是,则点M的轨迹方程为________________.反思与感悟 双曲线定义的两种应用(1)根据双曲线的定义判断动点轨迹时,一定要注意双曲线定义中的各个条件,不要一看到动点到两个定点的距离之差的绝对值是常数,就认为其轨迹是双曲线,还要看该常数是否小于两个已知定点之间的距离且大于零,否则就不是双曲线.(2)巧妙利用双曲线的定义求曲线的轨迹方程,可以使运算量大大减小,同时提高解题速度和质量.其基本步骤为①寻求动点M与定点F1,F2之间的关系;②根据题目的条件计算是否满足

65、

66、MF1

67、-

68、MF2

69、

70、

71、=2a(常数,a>0).③判断:若2a<2c=

72、F1F2

73、,满足定义,则动点M的轨迹就是双曲线,且2c=

74、F1F2

75、,b2=c2-a2,进而求出相应a,b,c.112018年人教B版高中数学选修2-1学案④根据F1,F2所在的坐标轴写出双曲线的标准方程.跟踪训练2 下列命题是真命题的是________.(将所有真命题的序号都填上)①已知定点F1(-1,0),F2(1,0),则满足

76、PF1

77、-

78、PF2

79、=的点P

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