《梯形》典型例题

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1、《梯形》典型例题例1已知：如图，四边形ABCD为矩形，四边形ABDE为等腰梯形，。求证：例2已知，如图，梯形ABCD中，，延长AB到E，使，求证：例3如图，把边长为2cm的正方形剪成四个全等的直角三角形．请用这四个直角三角形拼成符合下列要求的图形（全部用上，互不重叠且不留空隙），并把你的拼法画出来：（1）不是正方形的菱形一个；（2）不是正方形的矩形一个；（3）梯形两个；（4）不是矩形、菱形的平行四边形一个；（5）不是梯形和平行四边形的凸四边形一个。例4如图，已知：四边形ABCD是等腰梯形，其中，若，，.求：梯形ABCD的面积.7/

2、7例5如图，已知：在梯形ABCD中，，AC、BD相交于点O.求证：.例6已知：如图，梯形ABCD中，，，，，.求BC的长.例7已知：如图，在梯形ABCD中，，过B作，过D作交BE于E.求证：.7/7参考答案例1分析要证，则考虑这两个三角形中对应边、对应角的相等关系。而，且，则问题得证，本题要证对应的角相等也并不困难。证明∵四边形ABCD为矩形，∴∵四边形ABDE为等腰梯形，且为其对角线，∴。在和中，，又，∴例2证法一由ABCD是等腰梯形，∴又，∴在与中，，于是≌，故。证法二如图，连结BD，由可知四边形DCEB为平行四边形，所以又A

3、BCD为等腰梯形，于是，故证法三如图，作于于M。在与中，，所以又，故又由，可得7/7所以F为AE的中点，CF为AE的垂直平分线，所以证法四如图，连结BD。由知四边形BECD为平行四边形，所以。又ABCD是等腰梯形，所以又由，可知。所以说明：本题采用了几种常用的作辅助线的方法证得结论，目的是说明解与梯形有关的问题经常用这些作辅助线的方法。例3分析画出这些图形的关键是认识这些图形，也可以动手剪出这样的四个直角三角形，动手拼一拼，拼的过程中要注意把相等的两条边拼在一起。解例4分析：由已知条件知，梯形ABCD7/7是等腰梯形，由于等腰梯形

4、是一个轴对称图形，由图中的辅助线很容易想到.在此基础上应用勾股定理，就可以解决问题.解答：过点D、C作于E，于F.则根据等腰梯形的轴对称性可知：.∵，∴四边形CDEF是矩形.∴.∴在中，根据勾股定理有，∴.说明等腰梯形是一个轴对称图形，在计算等腰梯形的有关量时，就要从上底的两个端点作下底的垂线，从而产生一个矩形和两个全等的直角三角形，然后我们就可以根据等腰梯形的对称性，矩形自身的性质以及全等的直角三角形的性质解决问题．例5分析图中有两条线AD和BC是平行的，也就是说一条直线上的各点到另一条直线的距离相等．所以如果出现同底的三角形，

5、就可以保证其面积相等，因此，在这个图形中就能出现面积相等的三角形．证明：∵，∴A、D两点到BC的距离相等.即中BC边上的高与中BC边上的高相等.∴（等底等高）.∴∴说明本题中，我们也可以用和的面积相等，推出和的面积相等，等底等高的性质在证明三角形及四边形的面积问题时，起关键作用.例6解法1如图，延长DA，CB交于F.7/7∵，∴∴∴∴.∴解法2如图，作，交DC于E.∵，∴在中，∵，∴∴∴∴，∴分析本题综合考查了梯形的性质及等腰三角形的判定，易错点是作辅助线后探索不出图中所含的等腰三角形.解题关键是作出恰当的辅助线.例7分析：计算面

6、积，我们可以通过面积的计算公式，但同时，对于一些特殊的图形可采取特殊的方法，如，同底同高的两个三角形面积相等，同底等高的三角形和平行四边形的面积比为.那么由给出条件中的几对平行线，可考虑构造几个平行四边形.延长DC交BE于F，延长AC交BE于M，则图中就有两个平行四边形，即AMED和ABFD.而且这个平行四边形的底都为AD，且高都是AD，BE平行线之间的距离，即它们的高也相等，所以它们的面积相等.继续观察图形可发现的面积恰好是ABFD面积的一半，的面积恰好是AMED的一半.因此可证明这两个三角形的面积相等.7/7证明：延长DC交B

7、E于F，延长AC交BE于M.则四边形ABFD和四边形AMED皆为平行四边形，且（同底等高）又∵（等底等高），（同底等高），∴.7/7