梯形典型例题

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1、典型例题 　　例1：已知梯形ABCD的面积是32，两底与高的和为16，如果其中一条对角线与两底垂直，则另一条对角线长为___________________．　　思路分析　　本题是几何中的计算问题．通过作对角线的平行线，可以将对角线与高，上底与下底和集中到同一个直角三角形中，这样就可以利用勾股定理求出对角线的长．　　解：如图4-50，梯形ABCD中，AD∥BC，BD⊥BC．设AD=x，BC=y，DB=z，由题得：x+y+z=16，　　，（熟记梯形面积公式）　　解得x+y=8，z=8，　　过D作DE∥AC交BC的延长

2、线于E．　　∴四边形ADEC是平行四边形，（注意这种辅助线的作法很常用）　　∴DE=AC，AD=CE．（将“上底+下底”转化到一条线段上）　　在Rt△DBE中，∠DBE=90°，BE=BC+CE=x+y=8，BD=8，　　根据勾股定理得，　　∵AC=DE，　　．　　点评：本题主要考查用“方程思想”解决几何中的计算问题．解题过程中作“对角线的平行线”，将对角线与高，上底与下底和集中到同一个直角三角形中，这样就可以通过解直角三角形计算出对角线长，体现了添加辅助线的目的是把“分散的条件得以集中，隐含条件加以显现”的作用．

3、解梯形有关问题时，我们也常通过“作平行线将之转化为平行四边形的问题来解决”．　　例2：如图4-51，已知AB=BC，AB∥CD，∠D=90°，AE⊥BC．求证：CD=CE．　　思路分析　　这是一个直角梯形，通过作CF⊥AB，可以将梯形分成矩形和三角形，结合直角梯形的性质，利用两次全等，达到证明CD=CE的目的．　　证明：如图4-52，连结AC，过C作CF⊥AB于F．　　在△CFB和△AEB中，　　（这是直角梯形中常见的辅助线）　　（构造三角形证明三角形全等）　　∴△CFB≌△AEB（AAS）　　∴CF=AE．　　∵

4、∠D=90°，CF⊥AB且AB∥CD，　　∴AD=CF，　　∴AD=AE．　　在Rt△ADC和Rt△AEC中，　　　　∴Rt△ADC≌Rt△AEC（HL）　　∴CD=CE．　　点评：本题主要考查直角梯形、三角形全等的综合运用．在直角梯形中，通过作梯形一底的垂线，将梯形分成特殊的四边形（矩形）和三角形．将题中已知条件AB=BC中的两条线段AB和BC分别放到两个三角形中，结合直角梯形的性质，利用两次全等，达到证明CD=CE的目的．解决梯形问题时，除可作以上辅助线外，作一腰的平行线、连对角线、作对角线的平行线也是经常用到

5、的．　　例3：如图4-53，梯形ABCD中，AB∥DC，AD=BC，延长AB至E，使BE=DC．求证：AC=CE．　　思路分析　　本题主要考查等腰梯形的性质及证明两条线段相等的基本方法．　　证法一：∵四边形ABCD是等腰梯形，　　∴∠ADC=∠BCD（等腰梯形同一底上的两个角相等）　　又∵AB∥DC，　　∴∠BCD=∠CBE，（两直线平行，内错角相等）　　∴∠ADC=∠CBE，　　在△ADC和△CBE中，　　　　∴△ADC≌△CBE（SAS）　　∴AC=CE．　　证法二：如图4-54，连结BD，　　∵DC∥BE，D

6、C=BE，　　∴四边形DCEB是平行四边形，（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）　　∴DB=CE．　　又∵四边形ABCD是等腰梯形，　　∴AC=BD，（等腰梯形对角线相等）　　∴AC=CE．　　证法三：如图4-55，作CF⊥AE于F，DM⊥AE于M．　　在△AMD和△BFC中，　　　　∴△AMD≌△BFC （AAS）　　∴AM=BF．　　又∵AB∥DC，MD∥FC，　　∴DC=MF．　　又∵DC=BE，　　∴AM+MF=BF+BE，　　∴F为AE的中点，　　∴CF是AE的垂直平分线，　　∴AC=CE．　　证法

7、四：如图4-54，连结BD．　　∵DC∥BE，DC=BE，　　∴四边形DCEB是平行四边形，　　∴∠DBA=∠E，（两直线平行，同位角相等）　　又∵四边形ABCD是等腰梯形，　　∴AC=BD，　　在△ABC和△BAD中，　　　　∴△ABC≌△BAD（SSS）　　∴∠CAB=∠DBA，　　∴∠CAB=∠E，　　∴AC=CE．（等角对等边）（此种方法虽然较繁，但其思路很有价值，即通过证明“三线合一”说明是等腰三角形）　　点评：证法一证两三角形全等得两线段相等；证法二、四利用角相等证线段相等；证法三中通过梯形常加的辅助线

8、，作梯形底边上的高，连结梯形的对角线，将梯形分割成两个直角三角形与一个矩形，连结对角线再作对角线的平行线，将梯形转化为一个平行四边形和一个三角形．　　例4：要剪切如图4-56（尺寸单位：mm）所示的甲、乙两种直角梯形零件，且使两种零件的数量相等．有两种面积相等的铝板，第一块长500mm，宽300mm（如图4-57（1）），第二块长600mm，宽250mm（如