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1、正交阵实对称阵的正交化标准形及在历年考硕试卷中的相关题型分析摘要：实对称阵的正交化标准形涉及正交阵，施密特正交变换以及矩阵的特征值，特征向量和对角形等方面的知识点，在矩阵函数的学习内容中占据着极其重要的基础地位，是我们全面掌握矩阵与二次型函数相关内容的关键环节。关键词：实对称阵正交阵标准形对角阵正交化定义1.,若,则称A为正交阵.正交阵的等价定义还有:即同一行的乘积之和等于1，不同行的乘积之和等于0。定理1若A为正交阵，则︱A︱=1或-1引理1正交阵的特征值的模为1，如果有实特征值B能是1，以上定理及引理证明显然，我们不给出证明过程。定义2正交矩阵A可以对角化
2、，即存在复可逆矩阵T，使，其中为A的全部特征值，即下面我们给出史密特（shmidt）正交化的概念设（1）正交化。令，（2）单位化。令（3）若令，则为正交矩阵引理2设A是实对称阵，则A的特征值皆为实数证明：设是A的特征值，于是有非零向量满足令其中是的共轭复数，则考察等式其左边为，右边为。故有又因是非零向量。故。即是一个实数引理3设A是实对称矩阵，的定义如下：为n维欧氏空间上的一个线性变换,则对或证明：只要证明后一个等式就行了，实际上引理4设是对称变换，是一子空间,则也是的一子空间证明：设即,,也是的一子空间引理5设A是实对称阵，则中属于A的不同特征值的特征向量必
3、正交证明：设是A的不同的两个特征值，分别是属于的特征向量：定义线性变换如(1)，于是，，有因为,所以=0,所以正交定理2对于任意的一个n级实对称阵A，都存在一个n级正交矩阵T，使对三角形。证明：由于实对称矩阵和对称变换的关系，只要证明任意的n维欧氏空间中对称变换有n个特征向量做成标准正交基就行了。我们对空间的维数n作归纳法当n=1显然定理的结论成立。设n-1的定理的结论成立，对n维欧氏空间v，线性变换有一特征向量，其特征值为实数，把单位化，还用代表它，作L（）的正交补，设为v1，由引理4，v1是的不变子空间，其维数为n-1，又，显然也满足（2），仍是对称变换，
4、据归纳假设，有n-1个特征向量作为v1的标准正交基，从而是v的标准正交基，又是的n个特征向量，定理得证。对于正交阵，实对称阵在考研试卷中的频繁考察，是一个十分普遍的现象，主要的考察类型有多个角度，下面我将比较类型的几种形式：Eg1（华中师范大学）设A=是正交阵，求a，b，c，d，e解：由A的第一行，第二列和第三行得解得再由A的第1列和第3列得当a=时，由A的每1，2列正交得无论bc正负号怎么取都不能使1式成立∴a=-当a=-时，由A的第1，3行正交当b=时，由第1，2行正交，可得由第2，3行正交可得d=当b=时，仿上可求得c=综上知（a，b，c，d，e）=或（
5、a，b，c，d，e）=Eg2（山东工业大学）设A是奇数阶的正交阵，︱A︱=1，证明：A有特征值1。证：Eg3（武汉大学，1997）求正交变换，即求正交矩阵T，使得变换，化二次型为标准型（即平方和）。解：（1）写出此二次型的矩阵A=（2）求出A的特征值（3）求出相应的特征向量当时，由，即解齐次线性方程组解得基础解系（即为特征向量）当时，由,即解方程组解得基础解系（即为特征向量）当时，由,即解方程组解得基础解系（即为特征向量）(4)正交单位化由于已经正交，只需单位化即可，令令,则T为正交阵。(5)作正交变换化标准形令正交变换那么Eg4（新疆工学院）A=（1）a,b
6、,c满足什么条件时，矩阵的秩为3（2）a,b,c为何值时，A为对称阵（3）取一值a,b,c，使A为正交阵解：(1)(2)设(3)设A为正交阵，由A的第3行，第3列，第1列得再由第1，3列有所以a,b,c不能同时为正,那么i.当时，A是正交阵。ii.当时，A是正交阵iii.当时，A是正交阵iv.当时，A是正交阵Eg5（中国科学院）求证：不存在正交阵A，B，使A2=AB+B2证：（反证法）若存在n阶正交阵A，B，使A2=AB+B2………1那么,由1式有…………2…………3由于A,B是正交阵,从而A2,B-1也是正交阵,他们的积A2B-1也是正交阵,此即A+B是正交
7、阵,类似的由可证A-B是正交阵…………4…………54+5得矛盾，即证结论Eg6(武汉大学,2000年,上海交通大学)设A为n阶实方阵,证法1:证法2：因而A的特征值分三类1,-1,或由于是实系数多项式，其复根成对，即若有，必有，从而又由于因此A的特征值不可能只全是1和，必有-1作为特征值，从而Eg7(南京大学)设是一个实二次开型，是A的特征多项式的解，且,证明:对任一，有.证:存在正交阵T，使那么作正交阵变换,使…………1但...…………2但……………3将3代入2以上是我在考研期间总结出的几种较常见的类型题，当然，关于正交阵和实对称阵的题目种类还是很多的，但有
8、许多都是相似的内容，可见其重要地位在矩
