尺规作图 典型例题

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1、典型例题  例1、求作等腰直角三角形,使它的斜边等于已知线段  已知:线段  求作:,使∠A=90°,AB=AC,BC=  分析:由于等腰直角三角形比较特殊,内角依次为45°,45°,90°,故有如下几种作法:  作法一:1、作线段BC=  2、分别过点B、C作BD、CE垂直于BC  3、分别作∠DBC、∠ECB的平分线,交于A点  即为所求  作法二:作线段BC=  2、作∠MBC=45°  3、作∠NCB=∠MBC,CN与BM交于A点  即为所求  作法三:1、作线段BC=  2、作∠MBC=45°  3、过C

2、作CE⊥BM于A  即为所求  作法四:1、作线段BC=  2、作BC的中垂线,交BC于O点  3、在OM上截取OA=OB,连结AB,AC  即为所求  说明:几种作法中都是以五种基本作图为基础,  不要求写出基本作图的作法和证明。  例2、已知三角形的两边和其中一边上的中线长,求作这个三角形.  已知:线段a、b为两边,m为边长b的中线  求作:,使BC=a,AC=b,且AM=MC,BM=m.  分析:先画草图,假定为所求的三角形,则有BC=a,AC=b,设M为AC边的中点,则MB=m,而,故的三边为已知作出,然

3、后再作出.  作法:(1)作,使BC=a,,MB=m;  (2)延长线段CM至A,使MA=CM;  (3)连接BA,则为所求作的三角形.  小结:本题的突破口是找与所求的的关系.由于的三边已知,故即可顺利作出.  例3、如图,A、B、C三点表示三个村庄,为解决村民就近入学问题,计划新建一所小学,要使学校到这三个村庄的距离相等,请你在图中用尺规确定学校的位置P.  分析:分两步:先作到A、B两点距离相等的点的图形,再作到B、C两点等距离的点的图形,两图形的交点,这就是所求作的点.  作法:(1)连结AB,做线段AB的

4、垂直平分线DE;  (2)连结BC,作线段BC的垂直平分线FG,交DE与点P.  则点P为所求作的学校位置.  小结:由于不能直接确定到三点距离相等的点的位置,可以分解为先求到A,B相等的所有点,再求作到B,C相等的所有点,交点即所求.扩展资料三大几何作图问题  三大几何作图问题是:倍立方、化圆为方和三等分任意角。由于限制了只能使用直尺和圆规,使问题变得难以解决并富有理论魁力,刺激了许多学者投身研究。早期对化圆为方作出贡献的有安纳萨戈拉斯(Anaxagoras,约500B.C.~428B.C.),希波克拉底(Hip

5、pocratesofchios,前5世纪下半叶)、安蒂丰(Antiphon,约480B.C.~411B.C.)和希比亚斯(HippiasofElis,400B.C.左右)等人;从事倍立方问题研究的学者也很多,欧托基奥斯(Eutocius,约480~?)曾记载了柏拉图、埃拉托塞尼(Eratosthenes,约276B.C.~195B.C.)、阿波罗尼奥斯(Apollonius,约262B.C.~190B.C.)和帕波斯(Pappus,约300~350)等人共12种作图方法:尼科米迪斯(Nicomedes,约250B.

6、C.左右)、帕波斯等人则给出了三等分角的方法。当然所有这些研究都无法严格遵守尺规作图的限制,但它们却引出了大量的新发现(如圆锥曲线、许多三、四次曲线和某些超越曲线等),对整个希腊几何产生巨大影响。三大作图问题自智人学派提出之时起,历经二千余年,最终被证明不可能只用直尺、圆规求解(1837年旺策尔「P.L.Wantze1」首先证明了倍立方和三等分任意角不可能只用尺规作图;1882年林德曼[C.L.F.Lindemann]证明了π的超越性,从而确立了尺规化圆为方的不可能)。  关于三大几何作图问题的起源和古代探讨,在智

7、人学派之后一些希腊学者的著述中留有记载,这些分散片断的记载,成为了解早期希腊数学的珍贵资料。以下选录部分内容,各节作者与出处将随文注明。  倍立方  A。赛翁论倍立方问题的可能起源0埃拉托塞尼在其题为《柏拉图》的著作中写道:当先知得到神的谕示向提洛岛的人们宣布,为了止息瘟疫,他们必须建造一个祭坛,体积是现有那个祭坛的两倍时,工匠们试图弄清怎样才能造成一个立体,使其体积为另一个立体的两倍,为此他们陷入深深的困惑之中,于是他们就这个问题去请教柏拉图。柏拉图告诉他们,先知发布这个谕示,并不是因为他想得到一个体积加倍的祭坛

8、,而是因为他希望通过派给他们这项工作,来责罚希腊人对于数学的忽视和对几何学的轻视。  B。普罗克洛斯论希波克拉底对这一问题的筒化。O“简化”是将一个问题或定理转化成另一个已知的或已构造出的问题或定理,使得原命题清晰明了。例如,为解决倍立方问题,几何学家们转而探究另一问题,即依赖于找到两个比例中项。从那以后,他们致力于如何找到两条已知线段间连比例中的两个中项的

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