高中数学高考总复习导数的实际应用习题及详解

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1、高考总复习高中数学高考总复习导数的实际应用习题及详解一、选择题1．(文)(2010·甘肃省质检)函数f(x)＝x3－ax2＋x在x＝1处的切线与直线y＝2x平行，则a＝(　　)A．0B．1C．2D．3[答案]　B[解析]　由条件知，f′(1)＝3×12－2a×1＋1＝2，∴a＝1.(理)(2010·芜湖十二中)设函数f(x)＝g(x)＋x2，曲线y＝g(x)在点(1，g(1))处的切线方程为y＝2x＋1，则曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处切线的斜率为(　　)A．4B．－C．2D．－[答案]　A[解析]　

2、∵y＝g(x)在点(1，g(1))处的切线方程为y＝2x＋1，∴g′(1)＝2，∵f(x)＝g(x)＋x2，∴f′(x)＝g′(x)＋2x，∴f′(1)＝g′(1)＋2＝4.2．把长100cm的铁丝分成两段，各围成一个正方形，当两正方形面积之和最小时，两段长分别为(　　)A．20,80B．40,60C．50,50D．30,70[答案]　C[解析]　设一段长为x，则另一段长为100－x，∴S＝()2＋()2＝[x2＋(100－x)2]＝(2x2－200x＋10000)令S′＝0得(4x－200)＝0，∴x＝50

3、.3．在内接于半径为R的半圆的矩形中，周长最大的矩形的边长为(　　)A.和RB.R和RC.R和RD．以上都不对[答案]　B[解析]　设矩形垂直于半圆直径的边长为x，则另一边长为2，则l＝2x＋4　(0＜x＜R)，含详解答案高考总复习l′＝2－，令l′＝0，解得x＝R.当0＜x＜R时，l′＞0；当R＜x＜R时，l′＜0.所以当x＝R时，l取最大值，即周长最大的矩形的边长为R，R.4．(文)圆柱的表面积为S，当圆柱体积最大时，圆柱的底面半径为(　　)A.B.C.D．3π·[答案]　C[解析]　设圆柱底面半径为r，

4、高为h，∴S＝2πr2＋2πrh，∴h＝又V＝πr2h＝，则V′＝，令V′＝0得S＝6πr2，∴h＝2r，r＝.(理)内接于半径为R的球并且体积最大的圆锥的高为(　　)A．RB．2RC.RD.R[答案]　C[解析]　设圆锥的高为h，底面半径为r，则R2＝(h－R)2＋r2∴r2＝2Rh－h2∴V＝πr2h＝h(2Rh－h2)＝πRh2－h3V′＝πRh－πh2，令V′＝0得h＝R.5．要做一个圆锥形的漏斗，其母线长为20cm，要使其体积最大，则高为(　　)A.cmB.cmC.cmD.cm[答案]　D[解析]　

5、设圆锥的高为x，则底面半径为，含详解答案高考总复习其体积为V＝πx(400－x2)　(0＜x＜20)，V′＝π(400－3x2)，令V′＝0，解得x＝.当0＜x＜时，V′＞0；当＜x＜20时，V′＜0所以当x＝时，V取最大值．6．某公司生产某种产品，固定成本为20000元，每生产一单位产品，成本增加100元，已知总收益R与产量x的关系是R＝则总利润最大时，每年生产的产品是(　　)A．100B．150C．200D．300[答案]　D[解析]　由题意，总成本为C＝20000＋100x.所以总利润为P＝R－C＝P′

6、＝令P′＝0，得x＝300，易知当x＝300时，总利润最大．7．(文)(2010·安徽合肥市质检)函数y＝f(x)的图象如图所示，则y＝f′(x)的图象可能是(　　)[答案]　D[解析]　由f(x)的图象知，f(x)在(－∞，0)上单调递增，在(0，＋∞)上单调递减，∴在(0，＋∞)上f′(x)≤0，在(－∞，0)上f′(x)≥0，故选D.(理)如图，过函数y＝xsinx＋cosx图象上点(x，y)的切线的斜率为k，若k＝g(x)，则函数k＝g(x)的图象大致为(　　)[答案]　A含详解答案高考总复习[解析]

7、　∵y′＝sinx＋xcosx－sinx＝xcosx，∴k＝g(x)＝xcosx，易知其图象为A.8．(2010·鞍山一中)函数f(x)＝ax3＋ax2－2ax＋2a＋1的图象经过四个象限，则实数a的取值范围是(　　)A．a>－B．－－D．－≤a≤－[答案]　B[解析]　f′(x)＝ax2＋ax－2a＝a(x＋2)(x－1)有两个零点－2和1，故由题设条件知－2和1是函数f(x)的一个极大值点和一个极小值点，∵f(x)的图象经过4个象限，∴f(－2)·f(1)<0，∴<0，∴－

8、.9．(2010·泰安质检)已知非零向量a，b满足：

9、a

10、＝2

11、b

12、，若函数f(x)＝x3＋

13、a

14、x2＋a·bx在R上有极值，设向量a，b的夹角为θ，则cosθ的取值范围为(　　)A.B.C.D.[答案]　D[解析]　∵函数f(x)在R上有极值，∴f′(x)＝x2＋

15、a

16、x＋a·b＝0有两不等实根，∴Δ＝

17、a

18、2－4

19、a

20、·

21、b

22、cosθ＝4

23、b

24、2－8

25、b

26、2cosθ>0，∴cosθ<，∴选D.[