高中数学高考总复习利用导数研究函数的性质习题及详解.doc

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1、高中数学高考总复习利用导数研究函数的性质习题及详解一、选择题1．(文)函数y＝ax3－x在R上是减函数，则(　　)A．a＝　　　　　　　B．a＝1C．a＝2D．a≤0[答案]　D[解析]　y′＝3ax2－1，∵函数y＝ax3－x在R上是减函数，∴3ax2－1≤0在R上恒成立，∴a≤0.(理)(2010·瑞安中学)若函数f(x)＝x3＋x2＋mx＋1是R上的单调递增函数，则实数m的取值范围是(　　)A.　　　　　B.C.D.[答案]　C[解析]　f′(x)＝3x2＋2x＋m，由条件知，f′(x)≥0恒成立，∴Δ＝4－12m≤

2、0，∴m≥，故选C.2．(文)(2010·柳州、贵港、钦州模拟)已知直线y＝kx＋1与曲线y＝x3＋ax＋b切于点(1,3)，则b的值为(　　)A．3　　　B．－3　　　C．5　　　D．－5[答案]　A[解析]　由条件知(1,3)在直线y＝kx＋1上，∴k＝2.又(1,3)在曲线y＝x3＋ax＋b上，∴a＋b＝2，∵y′＝3x2＋a，∴3＋a＝2，∴a＝－1，∴b＝3.(理)(2010·山东滨州)已知P点在曲线F：y＝x3－x上，且曲线F在点P处的切线与直线x＋2y＝0垂直，则点P的坐标为(　　)A．(1,1)B．(－1,

3、0)C．(－1,0)或(1,0)D．(1,0)或(1,1)[答案]　C[解析]　∵y′＝(x3－x)′＝3x2－1，又过P点的切线与直线x＋2y＝0垂直，∴y′＝3x2－1＝2，∴x＝±1，又P点在曲线F：y＝x3－x上，∴当x＝1时，y＝0，当x＝－1时，y＝0，∴P点的坐标为(－1,0)或(1,0)，故选C.3．(2010·山东文)已知某生产厂家的年利润y(单位：万元)与年产量x(单位：万件)的函数关系式为y＝－x3＋81x－234，则使该生产厂家获取最大的年利润的年产量为(　　)A．13万件B．11万件C．9万件D．

4、7万件[答案]　C[解析]　由条件知x>0，y′＝－x2＋81，令y′＝0得x＝9，当x∈(0,9)时，y′>0，函数单调递增，当x∈(9，＋∞)时，y′<0，函数单调递减，∴x＝9时，函数取得最大值，故选C.[点评]　本题中函数只有一个驻点x＝9，故x＝9就是最大值点．4．(文)(2010·四川双流县质检)已知函数f(x)的定义域为R，f′(x)为其导函数，函数y＝f′(x)的图象如图所示，且f(－2)＝1，f(3)＝1，则不等式f(x2－6)>1的解集为(　　)A．(2,3)∪(－3，－2)B．(－，)C．(2,3)D

5、．(－∞，－)∪(，＋∞)[答案]　A[解析]　由f′(x)图象知，f(x)在(－∞，0]上单调递增，在[0，＋∞)上单调递减，∴由条件可知f(x2－6)>1可化为0≤x2－6<3或0≥x2－6>－2，∴20，且f(－2)＝0，则不等式f(x)g(x)<0的解集为(　　)A．(－2,0)∪(0,2)B．(－2,0)∪(2，＋∞)C．(－∞，－2)∪(0

6、,2)D．(－2，－∞)∪(2，＋∞)[答案]　C[解析]　设φ(x)＝f(x)g(x)，∵f(x)为奇函数，∴f(－x)＝－f(x)，∵g(x)为偶函数，∴g(－x)＝g(x)，∴φ(－x)＝f(－x)·g(－x)＝－φ(x)，故φ(x)为奇函数，∵f(－2)＝0，∴φ(－2)＝f(－2)·g(－2)＝0，∴φ(2)＝0，∵x<0时，φ′(x)＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)>0，∴φ(x)在(－∞，0)上为增函数，∴φ(x)在(0，＋∞)上为增函数，故使f(x)g(x)<0成立的x取值范围是x<－2或0

7、.5．函数y＝xsinx＋cosx，x∈(－π，π)的单调增区间是(　　)A．(－π，－)和(0，)B．(－，0)和(0，)C．(－π，－)和(，π)D．(－，0)和(，π)[答案]　A[解析]　y′＝sinx＋xcosx－sinx＝xcosx，当x∈(－π，－)时，y′＝xcosx>0，∴y为增函数；当x∈(－，0)时，y′＝xcosx<0，∴y为减函数；当x∈(0，)时，y′＝xcosx>0，∴y为增函数；当x∈(，π)时，y′＝xcosx<0，∴y为减函数；∴y＝xsinx＋cosx在(－π，－)和(0，)上为增函数

8、，故应选A.6．若函数f(x)＝x3－12x在区间(k－1，k＋1)上不是单调函数，则实数k的取值范围是(　　)A．k≤－3或－1≤k≤1或k≥3B．－30得函数的增区间是(－∞，－2)和(2