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1、数学建模之效益的合理分配班级：数学081班制作：张鹤日期：2010年5月30号题目某甲（农民）有一块土地，若从事农业生产可收入1万元；若将土地租给某乙（企业家）用于工业生产，可收入2万元；若租给某丙（旅店老板）开发旅游业，可收入3万元；当旅店老板请企业家参与经营时，收入达4万元。为促成最高收入的实现，请问如何分配个人所得最为合理？问题提出：题目中要求实现最大收益，很显然题目中三人合作的情况下所得的4万元为最高收入，试问在此种情况下，甲、乙、丙三者所应该得到的最合理的收入各为多少万元？问题的分析：遇到这种问题我们
2、会很容易的想到列方程求解的方去法分配：设甲、乙、丙三人合作后各得x1,x2,x3万元，满足x1+x2+x3=4①x1≥1,x2,x3≥0,x1+x2≥2,x1+x3≥2②其中②式表示这种分配必须不小于单干或二人合作时的收入，但我们很容易看出①，②式有许多组解，如（x1,x2,x3）=(2,0,2),(1.8,0.3,1.9),(1.7,0.4,1.9)……许多组解，我们发现这种分配方式并不合理，应寻求一种圆满的分配方法！模型假设与建立：我们上面提出的这类问题称为n人合作对策，ShapleyL.S.1953给出了
3、解决该问题的一种方法，称Shapley值。首先，让我们先了解一下什么叫n人合作对策和Shapley值n个人从事某项经济活动，对于他们之中若干人组合的每一种合作（特别，单人也视为一种合作），都会得到一定的经济效益，当人们之间的利益是非对抗性时，合作人数的增加不会引起效益的减少，这样，全体n个人的合作将带来最大效益。n个人的集合及合作的效益就构成n人合作对策，Shapley值是分配这个最大效益的一种方案。其Shapley值的定义如下：设集合I=﹛1，2，3……，n﹜，如果对于I的任一子集s都对应一个实值函数v(s)
4、，满足=0③v(s1∪s2)≥v(s1)+v(s2)，s1∩s2=空集④称[I,v]为n人合作对策，v为对策的特征函数.在上面所述的经济活动中，I定义为n人集合，s为n人集合中的任一种合作，v(s)为合作s的效益.用xi表示I的成员i从合作的最大收益v(I)中应得到的一份收入.x=(x1，x2……xn)叫合作对策的分配，满足∑=v(I)⑤xi≥v(i)，i=1,2,……,n⑥其中⑤式表示每个成员从合作最大收益中所得总额恰好为最大收益额⑥式表示每个人从最大收益额中所得不小于其每个人单干所得.显然，由③和④式定义的
5、n人合作对策[I,v]通常有无穷多个分配.Shapley值由特征函数v确定，记作vvvvvvv对任意的子集s，记vvvvv，即s中各成员的分配.对一切svvvv，满足x(s)≥v(s)的x组成的效益集合称[I,v]的核心.当核心存在时，即所有s的分配都不小于s的效益，这时可将Shapley值作为一种特定的分配，即vvvvvv其中vvv的结果为：Shapley值vvvvvvv其中Si是I中包含i的所有子集，/s/是子集s中的元素数目（人数），w(/s/)是加权因子，si表示s除掉i后的集合.以上述Shapley
6、值数学模型来对所给题目进行求解.模型求解：甲、乙、丙三人记为I={1，2，3}，经商获利定义为I上的特征函数，即vvv=0,v(1)=1,v(2)=v(3)=0,v(1,2)=2,v(1,3)=3,v(2,3)=0,v(I)=4容易验证v满足上述③和④式，为计算vvvv首先找出I中包含1的所有子集S1：{1}，{1，2}，{1，3}，{1，2，3}然后令s跑遍S1,由此我们得到表一如下：表一s1{1，2}{1，3}Iv(s)1234v(s1)0000v(s)-v(s1)1234/s/1223w(/s/)1/
7、31/61/61/3w(/s/)[v(s)-v(s1)]1/31/31/24/3由表一我们得出vvv1=2.5万元，即甲的收益为2.5万元。对此表中的解释：对表一中的s,比如{1，3}，v(s)是有甲（即{1}）参加时合作s的获利，v(s1)是无甲参加合作时s的获利，v(s)-v(s1)视为甲对这一合作的“贡献”，用Shapley值计算的甲的分配值vvv是甲对他所参加的所有合作（S1）的加权平均值，加权因子w(/s/)取决于这个合作s的人数.也就是按贡献取得报酬.于是，接下来我们可以用同样的方法得到表二，
8、表三分别为：表二s2{1，2}{2，3}Iv(s)0204v(s2)0103v(s)-v(s2)0101/s/1223w(/s/)1/31/61/61/3w(/s/)[v(s)-v(s2)]01/601/3表三s3{1，3}{2，3}Iv(s)0304v(s3)0102v(s)-v(s3)0202/s/1223w(/s/)1/31/61/61/3w(/s/)[v(s)-v(s
