2011年浙江省温州市摇篮杯高一数学竞赛试题和答案

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1、2011年浙江省温州市摇篮杯高一数学竞赛试题解答一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．1．某同学使用计算器求50个数据的平均数时，错将其中的一个数据150输入为15，那么由此求出的平均值与实际平均值的差是（▲）A．B．C．3D．解:求出的平均值实际平均值,选B．2．设集合，，则等于（▲）A．B．C．D．解：可得，，所以，选C．3．已知，则与的关系是（▲）A．或B．C．D．解:由于,与的终边位置相同或关于轴对称,所以或,合并得．选D．4．下列函数中在区间上单调递增的是（▲）A．B．C．D．解：将选择支中各函数用区间逐一检验知，只有C中函数满足要求．选

2、C．5．若则（▲）A．B．C．D．解：因为，，可知函数单调递减，已高一数学竞赛试题答案第8页（共8页）知不等式即，所以，选A．6．函数的零点个数为（▲）A．B．C．D．解：，所以的零点个数即函数与函数的交点的个数，作图可知有个交点，选D．7．记为坐标原点，已知向量，，又有点，满足，则的取值范围为（▲）A．B．　C．D．解：，点在以点为圆心，为半径的圆周上．可得，如图可知，当直线与圆周相切时，有最大值为，当三点共线时有最小值为０，所以的取值范围为．选A．8．已知，，，，则是直角三角形的概率是（▲）A．B．　　　　　　C．D．解：由与构成三角形及知，可得．与垂直，则

3、；若与垂直，则（舍去）；若与垂直，或（舍去）；综上知，满足要求的高一数学竞赛试题答案第8页（共8页）有２个，所求概率为．故选D．9．设，其中，则的最小值为（▲）A．B．　　C．D．解1：，由得．当且仅当时，．选B．解2：．当且仅当时，．选B．10．点在轴上，若存在过的直线交函数的图象于两点，满足，则称点为“Ω点”，那么下列结论中正确的是（▲）A．轴上仅有有限个点是“Ω点”；B．轴上所有的点都是“Ω点”；C．轴上所有的点都不是“Ω点”；D．轴上有无穷多个点（但不是所有的点）是“Ω点”．解1：设，，，因为，所以，，得．即对于轴上任意点，总有，满足题设要求，故选B．开

4、始否是(12题图)结束解2：（动态想象）：任取轴上点，将直线由轴位置开始绕点逆时针旋转，与函数的图象的位置关系必将经历从不交到相切再到交于两个点（由下至上）直到最后只交于一个点．当交于两个点时，在由正到负的过程中必将经历零点．当时，即有，所以轴上所有的点都是“Ω点”．二、填空题：本大题共7小题，每小题7分，共49分．11．同时抛掷三枚均匀的硬币，出现两个正面一个背面的概率是▲．解：同时抛掷三枚均匀硬币出现的等可能基本事件共有８种，其高一数学竞赛试题答案第8页（共8页）中两个正面一个背面的情况有（正，正，背），（正，背，正）与（背，正，正）三种，故所求概率为．12

5、．如图执行右面的程序框图，那么输出的值为▲．解：．13．函数的值域是▲．（其中表示不超过实数的最大整数）解：，所以的所有可能取值为，从而值域为．14．已知定义域为的函数对任意都满足条件与，则对函数，下列结论中必定正确的是▲．（填上所有正确结论的序号）①是奇函数；②是偶函数；③是周期函数；④的图象是轴对称的．解：由知有周期，于是，知为奇函数，填①③．15．若为整数，关于的方程有整数根，则▲．解：设为方程的整数根，则，必有或得或．16．是定义域为的函数，，若函数有且仅有4个不同的零点，则这4个零点之和为▲．解：，有对称轴，故4个零点和为8．17．求值：▲．解1：如图

6、，构造边长为的正五边形，使得，则依次可得，，，，由于，高一数学竞赛试题答案第8页（共8页）所以，从而．解2：原式．三、解答题：本大题共3小题，共51分．18．（本题满分16分）已知函数．⑴求的最小正周期和的值域；⑵若为的一个零点，求的值．解：⑴．…………………………………………………..4分所以的最小正周期；……………………………..……….…..5分由，得的值域为．…………………..7分⑵，由题设知，….8分由，结合知，可得．…………………………………………………..10分高一数学竞赛试题答案第8页（共8页），………………………...………..12分，…………

7、…………………..………..14分．……….……..16分19．（本题满分17分）设函数，对于给定的实数，在区间上有最大值和最小值，记．⑴求的解析式；⑵问为何值时，有最小值？并求出的最小值．解：⑴，抛物线开口向上，其对称轴方程为，下面就对称轴与区间端点的相对位置分段讨论：……………….………………………..1分①当时，且，此时，．．…3分②当时，且，此时，．．…5分③当时，，在区间上递增，此时，．．…7分高一数学竞赛试题答案第8页（共8页）④当时，，在区间上递减，此时，．．…9分综上所得………………………………………………10分⑵当时，；………………………………

8、…………11分当时，递减