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1、智浪教育—普惠英才文库全国初中数学联赛模拟试卷二一、选择题(本大题共6个小题,每小题只有一个正确答案,选对得5分,选错、不选或多选均得0分).1.已知方程有两个正整数根,则a的值是().A.a=1B.a=3C.a=1或a=3D.a=1或a=42.已知函数的最大值为9,最小值为1,则有().A.a=5,b=4B.a=4,b=5C.a=b=5D.a=b=43.若方程有且仅有一个实数满足,则p的值是().A.B.C.或D.不存在4.方程恒有二相异实根,方程也有二相异实根,且其二根介于上面方程二根之间,则k的取值为().A.k2≤a2B.k≥a-4C.a-4＜k＜a2D.a-4＜k
2、＜a5.已知a、b、c均为正实数,关于x的三个方程:则这三个方程存在实根的情况是().A.均有实根B.至少两个有实根C.至少一个有实根D.都没有实根6.用集合R1、R2分别表示下列两函数的值域.(1);(2)(x＞0)则有().A.R1={y:y≤3},R2={y:y≤-3}B.R1={y:≤y≤3},R2={y:y≥-3}C.R1={y:≤y≤3},R2={y:y≤-3}D.非上述答案二、填空题(本大题共有6个小题,每小题5分)智浪教育—普惠英才文库1.已知方程有实根,则方程的根为______.2.已知方程(
3、a
4、-1)x2+2(a+1)x+1=0恰有一个实数满足,则a的
5、值为______.3.若方程只有一个实根,则a的值为______.4.若方程组有解,但无不同的解,则a等于______.5.如图所示,在四边形ABCD中,AD=DC=1,∠DAB=∠DCB=90°,BC、AD的延长线交于点P,则AB·S△PAB的最小值是______.6.设,当时,直线y=ax+b与曲线y=g(x)有三个不同的交点,则a、b的取值范围是______.三、解答题1.(8分)已知a＞b＞c,求证:2.(8分)一艘船A停泊在距海岸2千米处的海面上,沿海岸有一座B城,距离岸上离船最近的C点3千米.一位船员因事要到B城去.已知他步行每小时走5千米,划船每小时行3千米,
6、问此船员最快几小时到达B城?3.(10分)已知,且a＞0,b＞0,c＞0,求证方程有两个不等的实根;若该方程的两根的平方和等于6,求它的两根.4.(14分)已知a、b、c都是正数,求证:(1)若长度为a、b、c的线段可构成一个三角形,则对一切满足p+q=1的实数,都有pa2+qb2＞pqc2.(2)若对于一切满足p+q=1的实数,都有pa2+qb2＞pqc2,则长度为a、b、c的线段可以构成一个三角形.参考答案一、选择题题号123456答案CCACCC1.解1:方程x2+5x+a+3=0有两个正整数根.其判别式△=52-4(a+3)=13-4a应为一完全平方数,且不大于52
7、,因而a=1或a=3.易验证,a=1.a智浪教育—普惠英才文库=3时原方程确有两个正整数根,故选C.解2:设方程的二整数根为x1、x2,不妨设x1≤x2,由韦达定理应有:x1+x2=5……①,x1x2=a+3……②.由①应有x1=2,x2=3或x1=1,x2=4,代入②得a=3或a=1.故选C.2.解:由得(a-y)x2+8x+(b-6)=0.要此方程有实根,应有△=82-4(a-y)(b-y)≥0也即y2-(a+b)y+ab-16≤0因为y的最小值是1,最大值是9,因此可得方程组:解这个方程组得a=b=5,故选C.3.解:将方程x4+6x3+(9-3p)x2-9px+2p
8、2=0变形得(x2+3x-p)(x2+3x-2p)=0由于这个方程仅有一个实数满足,因此方程x2+3x-p=0与x2+3x-2p=0,有一个有重根,另一个无实根,于是应有不等式组(I)与(Ⅱ)由不等组(I)得,不等式组(Ⅱ)无解.故选A.4.解:设方程x2+2ax+a-4=0的二根为x1,x2,判别式为;方程x2+2ax+k=0的二根为、,判别式为.则有从而得,即4a2-4a+16>4a2-4k解得k>a-4.又x1、x2及、都是相异二实数根,因而△2>0,△1>0.只要△2=4a2-4k>0,即可得k9、.15时,三个方程变形为智浪教育—普惠英才文库仅方程有实根,因而排除3选项A与B.若三个方程均无实根,则应有△1=4(a+b)-8c<0△2=4(b+c)-8a<0△3=4(a+c)-8b<0三个不等式相加,得△1+△2+△3=4(2a+2b+2c)-8(a+b+c)<0而4(2a+2b+2c)-8(a+b+c)=0,矛盾.由此排除3,D.故选C.6.解:由(1)得≥0整理得(y-3)(3y-1)≤0解此不等式得≤y≤3,故R1={y:≤y≤3}.由(2).又因为≥故y≤3-6=-3.故R2={y:y≤-3}.故选
