北京市市东城区171中学2016-2017学年高二上学期期中考试数学(理)试题+word版含解析

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1、北京市第一七一中学2016-2017学年度第一学期高二年级数学（理）期中考试试题（考试时间：100分钟总分：100分）一、选择题：1．如图是一个正四棱锥，它的俯视图是（）．A．B．C．D．【答案】D【解析】由于几何体是正四棱锥，所以俯视图是正方形，又因为有四条可以看见的棱，所以正方形中还有表示棱的线段，故选．2．原点到直线的距离为（）．A．B．C．D．【答案】D【解析】，故选．3．正方体的表面积与其外接球表面积的比为（）．A．B．C．D．【答案】B【解析】设正方体的棱长为，则正方体的表面积，由正方体的体对角线就是其外接球的直径可知：，即，所以外接球的表面

2、积：，故正方体的表面积与其外接球的表面积的比为：．故选．4．如图，直线，，的斜率分别为、、，则（）．A．B．C．D．【答案】A【解析】由图可知：，，，且直线的倾斜角大于直线的倾斜角，所以，综上可知：，故选．5．平面平面，点，，，，有，过，，确定的平面记为，则是（）．A．直线B．直线C．直线D．以上都不对【答案】C【解析】∵，∴，，又，∴，∴，，又∵，，∴，故选．6．对于平面和异面直线，，下列命题中真命题是（）．A．存在平面，使，B．存在平面，使，C．存在平面，满足，D．存在平面，满足，【答案】D【解析】选项，如果存在平面，使，，则，与，是异面直线矛盾，故

3、不成立；选项，如果存在平面，使，则，共面，与，是异面直线矛盾，故不成立；选项，存在平面，满足，，则，因为，是任意两条异面直线，不一定满足，故不成立；选项，存在平面，使，，故成立．综上所述，故选．7．直线的倾斜角范围是（）．A．B．C．D．【答案】B【解析】设直线的倾斜角为，则，∵，∴，即：，∴，故选．8．某四面体的三视图如图所示，该四面体四个面的面积中，最大的是（）．A．B．C．D．【答案】C【解析】在正方体中画出该三棱锥，如图所示：易知：各个面均是直角三角形，且，，，∴，，，，所以四个面中面积最大的是，故选．9．若直线始终平分圆的周长，则的取值范围是（

4、）．A．B．C．D．【答案】D【解析】由圆的方程，得圆心坐标为：，因直线始终平分圆的周长，则直线必过点，∴，∴，∴，即，当且仅当时，等号成立，∴的取值范围是：，故选．10．如图，正方体的棱长为，动点、在棱上，动点，分别在棱，上，若，，，（，，大于零），则四面体的面积（）．A．与，，都有关B．与有关，与，无关C．与有关，与，无关D．与有关，与，无关【答案】D【解析】如图：在棱上，在棱上，，所以的高为定值，又为定值，所以的面积为定值，四面体的体积与点到平面的距离有关，即与的大小有关，故选．二、填空题：11．已知圆，则过点的圆的切线方程是__________．

5、【答案】【解析】∵点在圆上，且，∴过点的且切线斜率不存在，故切线方程是：．12．直线所经过的顶点坐标为__________．【答案】【解析】把整理后得：，∴，解得：，故直线恒过定点．13．已知，是椭圆的两焦点，过点的直线交椭圆于，两点，则周长为__________．【答案】【解析】由椭圆，可得：．的周长．14．在棱长为的正方体上，分别用过共顶点的三条棱中点的平面截该正方体，则截去个三棱锥后，剩下的几何体的体积是__________．【答案】【解析】．【注意有文字】15．在三棱锥中，已知，，从点绕三棱锥侧面一周回到点的距离中，最短距离是__________

6、．【答案】【解析】将三棱锥沿展开，如图所示：由题意可知：，，∴．即从点绕三棱锥侧面一周回到点的距离中，最短距离是．16．二面角的大小是，线段，，与所成的角，则与平面所成的角的正弦值是__________．【答案】【解析】过点作平面的垂线，垂足为，在内作，垂足为，连接，则即是二面角的平面角，∴，设，则，，，，∴．即与平面所成角的正弦值是．三、解答题17．如图，在正方体中，、为棱、的中点．（Ⅰ）求证：平面．（Ⅱ）求证：平面平面．（Ⅲ）若正方体棱长为，求三棱锥的体积．【答案】见解析【解析】（Ⅰ）证明：连接，∵且，∴四边形是平行四边形，∴．又∵、分别是，的中点，

7、∴，∴，又∵平面，平面，∴平面．（Ⅱ）证明：在正方体中，∵平面，∴，又∵四边形是正方形，∴，∴平面，又∵平面，∴平面平面．（Ⅲ），∵，∴．18．如图，是边长为的正方形，平面，，，与平面所成角为．（Ⅰ）求证：平面．（Ⅱ）求二面角的余弦值．（Ⅲ）设点是线段上一个动点，试确定点的位置，使得平面，并证明你的结论．【答案】见解析【解析】（Ⅰ）证明：∵平面，平面，∴，又∵是正方形，∴，∵，∴平面．（Ⅱ）∵，，两两垂直，所以建立如图空间直角坐标系，∵与平面所成角为，即，∴，由，可知：，．则，，，，，∴，，设平面的法向量为，则，即，令，则．因为平面，所以为平面的法向量，

8、∴，所以．因为二面角为锐角，故二面角的余弦值为．（Ⅲ）依题意得，设，则，∵平面，