第八章热传导方程的傅氏解

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1、第八章热传导方程的傅氏解（11）一、内容摘要1．传导（扩散）混合问题：其解为：2．初始条件3．边界条件：第一类边界条件：第二类边界条件：第三类边界条件：时的第二类边界条件称为绝热条件。4．Fourier积分对于定义在上的非周期函数，在任一有限区间上分段光滑，则在该区间上函数可以展开为Fourier级数：Fourier积分为：Fourier积分还可以改写为如下形式：5．初值问题的Fourier解法热传导方程的初值问题：其解为：6．Fourier解的物理意义考虑具有单位横截面积的细杆上,在区间上有,而在区间外有.这时温度函数为:考虑极限,此时有:也就是说:t=0时刻，x

2、0处的瞬时点热源在杆上产生了上述温度分布。也就是说,在处强度为的瞬时点热源产生的温度分布为。在细杆上所有点上，初始温度分布的总作用就是有这些点源的作用叠加得到：7．一端有界的热传导问题：定解问题其解为：一、习题1．考虑长为的均匀杆的导热问题若（1）杆的两端温度保持零度；（2）杆的两端均绝热；（3）杆的一端为恒温零度，另一端为绝热。试写出该导热问题在以上三种情况下的边界条件。2．长为的柱形管，一端封闭，另一端开放，管外空气中含某种气体，其浓度为，向管内扩散，写出该扩散问题的定解问题。3．设初始温度为，长为的均匀细生铁杆，当杆的一端温度为，而另一端及杆的侧面对于周围介质

3、热绝缘时，求杆中的温度分布。4．求解下列定解问题。（1）．（2）．（3）．（4）．（5）．5．求解厚度为的层状铀块中，中子扩散运动满足的定解问题．三、参考答案1．解：设杆的温度为则(1)；(2)因为当沿杆长方向有热量流动时由Fourier实验定律有：．其中，为热流强度。而杆的两端绝热，就意味着杆的两端与外界没有热交换，亦即没有热量的流动（），故有：(3)显然，此时有：．以上三种情况均为齐次边界条件，这是日后学习分量变量法时常常会用到的。2．解：设端封闭，则该端没有气体的流动，故由扩散定律有：，又由于开放的一端与管外相通，应与管外空气中的气体浓度一样，所以有：。故该扩

4、散问题的定解问题为：．3．解：本题等价于下列定解问题：其中；令:，我们易找到一个即满足泛定方程，又满足非齐次边界条件得解，即：因而，满足下列定解问题：解出上述定解问题，最后本题的解为：，其中．4．解:(1)令，把它代入泛定方程，完成分离变量，并利用边界条件，可得：。及本征问题：此问题中，边界条件是第二类及第三类，因而本征值。记，把通解代入，得，从而。再由：，得。因A不能再为零，于是：，这个超越方程有无限多个根，我们只要考虑它的正根就行了。如令表示第n个根，则得第n个本征值为：而相应的本征函数为：。把代入T的方程得：。至此，已求得了满足泛定方程和边界条件得特解族。再把

5、这些特解叠加，即得到级数解：.最后，由初始条件便得：于是，，这里，把代入前述级数，即得解为：.(2)由于对应的齐次问题具有第一类边界条件，故令代入方程和初始条件得：即：其中①式的解为：将②、③代入④式得故得原定解问题的解为：(3)令④并选⑤则①-③)式简化为：令，代入⑥和⑧得：⑨⑩其中：则方程⑨的解为：代入初始条件⑩得所以于是有(11)将⑤和(11)两式一并代入④得：（4）没有现成的公式可套，我们直接按分离变量法的四个步骤来求解:1)分离变量，即令：④则①式变为：即于是①式变为：而②式变为：，即由②式得：⑦2）解本征值问题：，则得：3）将代入⑥式得：解之得：⑨⑧、⑨

6、两式代入④式得：4）叠加，用初始条件③定系数：⑩代入③式得：，比较两边的系数得：代入⑩式，于是得原定解问题的解为：（5）方程是非齐次的,,代入方程得.令,,所以得.同时有；.令，得因为,.又因为,所以,而.所以因为,得.对上式两边同乘,积分得,所以.所以最后得.5．解：1）令④代入方程①得：两边除得：，则得：将④式代入边界条件②得⑦1）求解由⑤、⑦两式构成的本征值问题得：2）将代入⑥式并求解⑥式，于是⑧代入初始条件③得：，将求得的代入⑧式，即得原定解问题的解。