第八章热传导和扩散问题的傅里叶解

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1、专业资料第八章热传导方程的傅里叶解第一节热传导方程和扩散方程的建立8.1.1热传导方程的建立推导热传导方程和前面弦振动所用的数学方法完全相用，不同之处在于具体的物理规律不同。这里用到的是热学方面的两个基本规律，即能量守恒和热传导的傅里叶实验定律。热传导的傅里叶实验定律：设有一块连续的介质，选定一定的坐标系，并用表示介质内空间坐标为的一点在t时刻的温度。若沿x方向有一定的温度差，在x方向也就一定有热量的传递。从宏观上看，单位时间内通过垂直x方向的单位面积的热量q与温度的沿x方向的空间变化率成正比，即（8-1.1）q称为热流密度，k称为导热系数。公式中的负号表示热流的方向和温度

2、变化的方向正好相反，即热量由高温流向低温。研究三维各向同性介质中的热传导，在介质中三个方向上存在温度差，则有，，或即热流密度矢量与温度梯度成正比。下面以一维均匀细杆为例，根据傅里叶实验定律和能量守恒定律推导介质中的热传导方程。第一步，定变量。研究介质x位置处在t时刻的温度。第二步，取局部。在介质内部隔离出从x到一段微元长度，在t到时间内温度的变化。第三步，立假设。假设均匀介质的横截面积为A，质量密度为，比热为c，热传导系数为k。学习资料专业资料第四步，找规律。隔离出来的微元长度在t到时间内吸收的热量为：（8-1.2）在t到时间内，同过x位置处的横截面的热量为：（8-1.3）

3、在t到时间内，同过位置处的横截面的热量为：（8-1.4）如果在微元段内有其他的热源，假设在单位时间单位体积内产生的热量为，则该热源在微元内产生的热量为：（8-1.5）第五步，列方程。根据能量守恒定律，净流入的热量应该等于介质在此时间内温度升高所需要的热量。即得到：令，则得到热传导方程为（8-1.6）当介质内部无其他热源时，热传导方程是齐次的，为（8-1.7）8.1.2扩散方程的建立学习资料专业资料扩散问题研究的是杂质在其他介质中的浓度分布，得到的扩散方程与热传导方程有完全一样的形式。过程略。8.1.3热传导问题的定解条件与弦的振动一样，其定解条件包括边界条件和初始条件。初始

4、条件为：已知初始时刻细杆上各点的温度分布其边界条件有三种：第一边界条件：已知细杆端点的温度或者。第二边界条件：已知通过端点的热量，即已知端点的。例如：当介质x=0端和外界绝热，此时。第三边界条件：例如，已知端点x=l与某种介质按热传导中的牛顿实验定律进行着热量交换，已知端点的温度为，与其接触的介质的温度为，有牛顿实验定律知道：在单位时间内由端点x=l流入介质的热量为由傅里叶实验定律可知，在单位时间内，端点x=l流出热量为：由，就可以得出第三边界条件为其中，k为热传导系数，h为热交换系数。第二节混合问题的傅里叶解8.2.1混合问题的解对于有界杆的热传导问题，我们先考虑齐次方程

5、和齐次边界条件下的混合问题。即：第一步,分离变量，将二阶偏微分方程转化为两个常微分方程。令学习资料专业资料将此代入泛定方程（8-2.1），得到两个常微分方程：（8-2.4）（8-2.5）第二步，将原来的边界条件转化为的边界条件。将此代入边界条件，得的边界条件：，（8-2.6）第三步,求解本征值问题通过讨论分析得出只有时，方程（8-2.5）的解才有意义。因此，时解（8-2.5）式得.将这个通解代入边界条件（8-2.6），就有即于是，即.得到本征值：相应的本征函数是：第四步,求特解，并进一步叠加出一般解：对于每一个本征值，解（8-2.5）式得出相应的:.得到了满足偏微分方程和边

6、界条件的特解:学习资料专业资料.得到方程的一般解为（8-2.7）第五步,利用本征函数的正交性确定叠加系数：现在根据初始条件中的已知函数定出叠加系数，将上面的一般解代入初始条件，并利用本征函数的正交性得到系数为（8-2.8）公式（8-2.7）给出了均匀细杆上温度场的分布，表明温度场随时间做指数衰减。第三节初值问题的傅里叶解8.3.1利用傅里叶积分求出热传导的初值问题对于无穷长一维介质上的热传导问题，可以表示为解：令代入泛定方程（8-3.1），得到两个常微分方程：（8-3.3）（8-3.4）解式（8-3.3）得到：（8-3.5）由公式（8-3.5）可以看出：当时，温度随时间的变

7、化将趋于无穷大，这与物理事实不符，因此，，令。（8-3.3）和（8-3.4）的解为与有关系的一系列解，记为（8-3.6）解式（8-3.4）得到：学习资料专业资料于是得到热传导的一系列解为（8-3.7）由于这里的没有边界条件的限制，所以为任意实数值。则的一般解为公式（8-3.7）对所有值对应解的叠加，由于为连续实数，因此，的一般解为公式（8-3.7）对从到进行积分。即（8-3.8）把初始条件代入上式得到：（8-3.9）其中傅里叶系数：（8-3.10）（8-3.11）把公式（8-3.10）与（8-3.11）带入公式（8