热传导方程傅里叶解

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1、热传导在三维的等方向均匀介质里的传播可用以下方程表达：其中：·u=u(t,x,y,z)表温度，它是时间变量t与空间变量(x,y,z)的函数。·/是空间中一点的温度对时间的变化率。·,与温度对三个空间座标轴的二次导数。·k决定于材料的热传导率、密度与热容。热方程是傅里叶冷却律的一个推论（详见条目热传导）。如果考虑的介质不是整个空间，则为了得到方程的唯一解，必须指定u的边界条件。如果介质是整个空间，为了得到唯一性，必须假定解的增长速度有个指数型的上界，此假定吻合实验结果。热方程的解具有将初始温度平滑化的特质，这代表热从高温处向低温处传播。一般而言，许多不同的初

2、始状态会趋向同一个稳态（热平衡）。因此我们很难从现存的热分布反解初始状态，即使对极短的时间间隔也一样。热方程也是抛物线偏微分方程最简单的例子。利用拉普拉斯算子，热方程可推广为下述形式其中的是对空间变量的拉普拉斯算子。热方程支配热传导及其它扩散过程，诸如粒子扩散或神经细胞的动作电位。热方程也可以作为某些金融现象的模型，诸如布莱克-斯科尔斯模型与Ornstein-Uhlenbeck过程。热方程及其非线性的推广型式也被应用于影像分析。量子力学中的薛定谔方程虽然有类似热方程的数学式（但时间参数为纯虚数），本质却不是扩散问题，解的定性行为也完全不同。就技术上来说，热

3、方程违背狭义相对论，因为它的解表达了一个扰动可以在瞬间传播至空间各处。扰动在前方光锥外的影响通常可忽略不计，但是若要为热传导推出一个合理的速度，则须转而考虑一个双曲线型偏微分方程。以傅里叶级数解热方程[编辑]以下解法首先由约瑟夫·傅里叶在他于1822年出版的著作Théorieanalytiquedelachaleur（中译：解析热学）给出。先考虑只有一个空间变量的热方程，这可以当作棍子的热传导之模型。方程如下：其中u=u(t,x)是t和x的双变量函数。·x是空间变量，所以x∈[0,L]，其中L表示棍子长度。·t是时间变量，所以t≥0。假设下述初始条件其中函

4、数f是给定的。再配合下述边界条件.让我们试着找一个非恒等于零的解，使之满足边界条件(3)并具备以下形式：这套技术称作分离变量法。现在将u代回方程(1)，由于等式右边只依赖x，而左边只依赖t，两边都等于某个常数−λ，于是：以下将证明(6)没有λ≤0的解：假设λ<0，则存在实数B、C使得从(3)得到于是有B=0=C，这蕴含u恒等于零。假设λ=0，则存在实数B、C使得仿上述办法可从等式(3)推出u恒等于零。因此必然有λ>0，此时存在实数A、B、C使得从等式(3)可知C=0，因此存在正整数n使得由此得到热方程形如(4)的解。一般而言，满足(1)与(3)的解相加后仍

5、是满足(1)与(3)的解。事实上可以证明满足(1)、(2)、(3)的解由下述公式给出：其中推广求解技巧[编辑]上面采用的方法可以推广到许多不同方程。想法是：在适当的函数空间上，算子可以用它的特征矢量表示。这就自然地导向线性自伴算子的谱理论。考虑线性算子Δu=uxx，以下函数序列（n≥1）是Δ的特征矢量。诚然：此外，任何满足边界条件f(0)=f(L)=0的Δ的特征矢量都是某个en。令L2(0,L)表[0,L]上全体平方可积函数的矢量空间。这些函数en构成L2(0,L)的一组正交归一基。更明白地说：最后，序列{en}n∈N张出L2(0,L)的一个稠密的线性子空

6、间。这就表明我们实际上已将算子Δ对角化。非均匀不等向介质中的热传导一般而言，热传导的研究奠基于以下几个原理。首先注意到热流是能量流的一种形式，因此可以谈论单位时间内流进空间中一块区域的热量。·单位时间内流入区域V的热量由一个依赖于时间的量qt(V)给出。假设q有个密度Q(t,x)，于是·热流是个依赖于时间的矢量函数H(x)，其刻划如下：单位时间内流经一个面积为dS而单位法矢量为n的无穷小曲面元素的热量是因此单位时间内进入V的热流量也由以下的面积分给出其中n(x)是在x点的向外单位法矢量。·热传导定律说明温度对时间的梯度满足以下线性关系其中A(x)是个3 ×

7、 3实对称正定矩阵。利用格林定理可将之前的面积分转成一个体积分·温度在x点对时间的改变率与流进x点所在的无穷小区域的热量成正比，此比例常数与时间无关，而可能与空间有关，写作κ(x)。将以上所有等式合并，便获得支配热流的一般公式。注记：·系数κ(x)是该材料在x点的密度和比热的积的倒数。·在等方向性介质的情况，矩阵A只是个标量，等于材料的导热率。·在非等向的情况，A不一定是标量，我们鲜少能明确写出热方程的解。然而通常可考虑相应的抽象柯西问题，证明它是适定的，并（或）导出若干定性结果（诸如初始值保持正性、无穷传播速度、收敛至平衡态或一些平滑化性质）。这些论证通

8、常有赖于单参数半群理论：举例来说，如果A是个对称矩阵，那么由定义的