圆锥曲线极坐标方程

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1、圆锥曲线极坐标方程一、知识总结：1、标准形式：，其中为焦准距（焦点到准线的距离），对于椭圆和双曲线，对于抛物线就是那个，其实抛物线中也表示焦准距。2、过程：取圆锥曲线的一个焦点（椭圆取左焦点，双曲线取右焦点，抛物线右焦点）为极点,极轴垂直于相应的准线,但与其不相交,建立极坐标系。注意，该极坐标方程，仅表示双曲线的右支，如果允许，则表示两支。3、关于的正负问题：通常情况下规定，首先，是极径，是长度，小于没意义，其次，当，时，除极点外，平面上的点就与它的极坐标构成一一对应关系。二、推广形式：1、推广1：：1）当时，方程表示极点在右焦

2、点的椭圆；2）当时，方程表示开口向左的抛物线；3）当时，方程表示极点在左焦点的抛物线。2、推广2：：1）当时，方程表示极点在下焦点的椭圆；2）当时，方程表示开口向上的抛物线；3）当时，方程表示极点在上焦点的双曲线。3、推广3：：1）当时，方程表示极点在上焦点的椭圆；2）当时，方程表示开口向下的抛物线；3）当时，方程表示极点在下焦点的双曲线。三、几点性质：1、当原点与极点重合，极轴与轴正半轴重合，单位长度相同时，对于圆锥曲线标准极坐标方程：，与之对应的直角坐标方程为：1）当时，；2）当时，；第6页共6页3）当时，。2、记圆锥曲线的

3、标准形式：时：1）公式1：；公式2：；公式3：.2）过圆锥曲线的标准极坐标方程易求得过焦点且倾斜角为的弦长：，特别地，对于抛物线，.四、焦半径公式：1、椭圆：已知在椭圆上，则：；2、双曲线：1）已知在双曲线右支上，则；2）已知在双曲线左支上，则；综上，。五、利用圆锥曲线极坐标解题：1、求椭圆的长轴长和短轴长。解：由公式得：，2、椭圆，为左焦点，过的直线交椭圆于两点，有，求的直线方程。解：以为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，，，，设，则，，则有：，即，解得，进而求得，所以，第6页共6页3、已知，为左焦点，为椭圆上的动点，有，求证

4、：.证明：以为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，则椭圆为：，设，则，，因为为椭圆上的点，整理得：.4、如图，已知分别是抛物线的顶点和焦点，弦过，，，求的面积。解：设抛物线的极坐标方程为：，直线的倾斜角为，则，，由题设，，.5、如图所示，已知椭圆长轴，焦距，过椭圆焦点作一直线交椭圆于两点，设，问：当取何值时，等于椭圆短轴长。解：以为极点，为极轴建立极坐标系，由，得，第6页共6页，，则椭圆方程，设，则，则有：，由，或.6、已知椭圆上三点，且互成角，求证：为定值。证明：做极坐标变换：，则椭圆的极坐标方程为：，设，整理得：为定值。7、在

5、抛物线内，有过原点且互相垂直的两条弦，求第6页共6页的最小值。解：以焦点为极点，以轴为极轴建立及坐标系，设，则有：，由均值不等式，，即当时，等号成立，即，或时，的最小值为.8、设是椭圆的左焦点，是椭圆上任意一点，是线段上的点，且，求点的轨迹方程。解：以焦点为极点，以轴为极轴建立及坐标系，设，在椭圆中又，则椭圆的极坐标方程为：，设，则，由条件可知：，，，点的极坐标方程为：，又，，而此时，极点为，对于极坐标方程对应的应该是建立在自己的左焦点上的，即本应该以为极点，而实际上以为极点，相当于向左平移了个单位，所以，直角坐标方程为：。9、

6、等轴双曲线的实轴长为，过其右焦点，引倾斜角为的直线，交双曲线于第6页共6页两点，求。解：因为实轴长为，所以，双曲线为：，，，以右焦点为极点，以轴为极轴建立及坐标系，得，由双曲线的渐近线为，倾斜角为，所以，该直线与双曲线的交点在两支上，设，化简得：第6页共6页