巧用圆锥曲线极坐标方程解题

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1、第6聊高中毅学教与学巧用圆锥曲线极坐标方程解题姜文(贵州省贵州师范大学数学与计算机科学学院，550001)圆锥曲线的焦点弦问题是高考考查的热，L／点，也是重点，这类问题运算的繁琐使得考生，P望而生畏．圆锥曲线的极坐标方程给解决这∥P一＼Ar，一类问题带来方便，下面举例说明，旨在抛砖，引玉．一图1图2、圆锥曲线的统一极坐标方程如图1，以定点0为极点，使极轴0所在若建立如图2的极坐标系(／_POx为点P的直线垂直于定直线Z且的反向延长线交z的极角)，类似于上述的方法可得圆锥曲线的于点A．设P(p，0)为圆锥曲线上的任意一点，统一极坐标方程为：贝ⅡIOPI=p，／POx=0，IPI=I

2、OAl+pcos0=P+pcos0，根据圆锥曲线的统一定义P=②有其中P是焦点到准线的距离，e为离心率，。一!一’焦点位于极点，极轴是圆锥曲线的对称轴．当01时，②式表示以左焦是焦点到准线的距离，e为离心率，焦点位于点为极点的双曲线的左支，若允许P<0，②极点，极轴是圆锥曲线的对称轴．当0

3、在的直线平行于准线建立极坐标系，如物线；当e>1时，①式表示以右焦点为极点图3和图4所示，则圆锥曲线的统一极坐标方的双曲线的右支，若允许P<0，①式就表示程分别为整条双曲线．eP，：P·●⋯·●⋯-●⋯·●⋯·●⋯-●⋯·●⋯·●⋯·●⋯·●⋯·●⋯·●⋯·●⋯·●⋯·●⋯-●⋯·●⋯·●⋯·●⋯·●⋯·●⋯-●⋯·●⋯·●⋯·●⋯·●⋯·●⋯·●⋯·●⋯·●⋯·●⋯·●⋯·●⋯·●⋯·●⋯·●⋯⋯Oo·●⋯·●”直接用基本不等式，通过平方化函数式为积≤10+()+()的形式，再向“和为定值”条件靠拢．=10+3a+2b=20‘．‘Y>0．‘．．Y≤,／20=2,／5．·y2=3

4、a+26+2．．评注本题将解析式两边平方构造出=10+2√和为定值”，为利用基本不等式创造了条件．·15·高中数学教与学2015生P=④解(1)+寺=1(过程略)．，L(2)以F为极点，Fx为极轴建立极坐标AM系，则这样建立的极坐标系的椭圆的方程符!合②式．设P(P。，0)，则P，P，的坐标分别为、、、l(p，+)，(p，，+)，由(1)知椭圆的离心率为e：1图3图4，焦点，到准线l的距离为p：其中P是焦点到准线的距离，e为离心率，9，故椭圆的极坐标方程为焦点位于极点．当0

5、1时，③式表示以上焦点为极点的双陆线的上支，若允许P<0，③式就表示整条双曲线．④式所以1++高类似．1l1=一+——+——上述①②③④就是以焦点为极点建立PlP2P3极坐标系得到的三种圆锥曲线的统一极坐标=古【2⋯s+2⋯s0+)方程．它们在解决高考中的焦点弦问题时能有效地避免繁琐的代数运算，给解答问题带+2⋯s0+)]来便利，合理地选择相应的方程解决问题，可一起到事半功倍的作用．下面举例说明它们的。。3‘应用．例2如图6，过椭圆c：+y=1的左二、应用举例例1(2007年重庆高考题)如图5，中心焦点F．作两条互相垂直的直线1．，l，，与椭圆C在原点0的椭圆的右焦点为F(3，0

6、)，右准线Z分别交于点P，Q及点，J7＼，，求四边形PMQN的方程为=12．面积的最大值与最小值．(1)求椭圆的方程；，P(2)在椭圆上任取三个不同点P。，P2，P，使Pl2=LP2FP3=LP3FPl，证明：F：Q辜+毒+嘉为定值，并求此定Ⅳ值．图6，L解以F，为极点，F．为极轴建立极坐<标系，设P(p。，0)，因为MN上PQ，所以M，Q，-jJ7、r的极坐标分别为(p：，+詈)，(p，，0+竹)，图5(p，+)．由①式得椭圆的极坐标方程为·16·第6期高中数学教与学故p一=，l，南1叫c0(0+詈)一¨，Cepepp。’图7一南1一ecos(0+7-1一es¨·有时问题不能直

7、接用极坐标解答，但只要稍作转化即可．请看下面的例题：故四边形PMQN的面积例3(2014年全国高考题)设F，是s=lPQi·lMNI椭圆c：+告=1a>b>0)的左，右焦点，是C上一点且MF：与轴垂直，直线MF与=—}(Pl+P3)(p2+P4)C的另一个交点为Ⅳ_若直线MN在Y轴上的=截距为2，且IMNI=5IF。J7＼，I，求a，b的值．2(＼1一ecos0+。1+ecos0、1。解以F。为极点，F。为极轴建立极坐(+)标系，设F。F2=，则M(p。，0)，N(p：，0+一上