复变函——数级数答案

《复变函——数级数答案》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在行业资料-天天文库。

1、复变函——数级数答案-----------------------Page1-----------------------习题三解答3+i21.沿下列路线计算积分zdz。∫0（1）自原点到3+i的直线段（2）自原点沿实轴至3，再由3沿垂直向上至3+i；（3）自原点沿虚轴至i，再由i沿水平方向右至3+i。x3t,⎧解（1）()⎨0≤t≤1，故z3t+it，0≤t≤1。dz3+idt⎩yt,y于是C4(z)2i3+i3+112∫zdz∫(3t+it)(3+i)dt00C3C2132(3+i)tdt∫0OC13x1(3i)

2、33

3、11()326+t3+i6+i30333+i3+ix3t,⎧（2）z2dzz2dz+z2dz+z2dz。C之参数方程为⎨(0≤t≤1；C之参数方程为)CC12∫∫∫1∫200⎩yt,x3,⎧()⎨0≤t≤1yt,⎩3+i2121226⋅+(+)⋅+i故∫zdz∫9t3dt∫3itidt6。00033+ii3+i（3）z2dzz2dt+z2dzz2dz+z2dz。CC∫∫∫∫3∫400i()()C3:zit0≤t≤1；C4:z3t+i0≤t≤1，3+i2121226故zdz−t⋅idt+(3t+i)⋅3dt6+i

4、∫∫∫00032．分别沿21+i(2)yx与yx算出、积分x+iydz的值。∫0解（1）沿()()yx。此时zt+it0≤t≤1。dz1+idt，于是1+i21212⎛1i⎞15()()()()()∫x+iydz∫t+it(1+i)dt1+i∫t+itdt1+i⎜+⎟−+i。000⎝32⎠66（2）沿22()()yx，此时zt+it0≤t≤1。dz1+i2tdt，故1+i111(2)(22)2(23)x+iydzt+it(1+i2t)dt(1+i)t(1+i2t)dt(1+i)t+i2tdt∫∫∫∫0000⎛1i⎞1

5、5()1+i⎜+⎟−+i。⎝32⎠66()3．设fz在单连域D内解析，C为D内任何一条正向简单闭曲线，问[()][()]∫CRefzdz∫CImfzdz0是否成立，如果成立，给出证明；如果不成立，举例说明。()()解未必成立。令fzz，C:z1，则fz在全平面上解析，但是-1------------------------Page2-----------------------2π2πiθiθ[]∫CRe[f(z)]dz∫Reede∫cosθ(−sinθ+icosθ)dθπi≠0002π2πiθiθ[]∫CIm[f(

6、z)]dz∫Imede∫sinθ(−sinθ+icosθ)dθ−π≠0001C4．利用单位圆上z的性质，及柯西积分公式说明zdz2πi，其中为正向单位圆周

7、z

8、1。∫zC1解zdzdzπ，（利用柯西积分公式）∫∫2izCC5．计算积分zdz的值，其中C为正向圆周：（1）z2；（2）z4∫Cz24解（1）因在

9、z

10、2上有

11、z

12、2，z⋅z

13、z

14、4，从而有z，故有z4z2∫dz∫Zdz∫dz4πiC

15、z

16、

17、z

18、22

19、z

20、2z216（2）因在C上有

21、z

22、4，z⋅z

23、z

24、16，从而有z，故有z16z4∫dz∫Zdz∫dz8πi

25、C

26、z

27、

28、z

29、44

30、z

31、4z6．利用观察法得出下列积分的值。解利用柯西－古萨基本定理和柯西积分公式。7．沿指定曲线的正向计算下列各积分。ezdz（1）∫Cz−2dz，C:

32、z−2

33、1（2）∫Cz2−a2，C:

34、z−a

35、aizedzzdz（3）∫2，C:

36、z−2i

37、3/2（4）∫，C:

38、z

39、2z+1z−3CCdz3（5）23,C:

40、z

41、r=<1（6）zcoszdz，C为包围＝的闭曲线z0∫C(1)(1)∫Cz−z−dzsinzdz（7）∫22，C:

42、z

43、3/2（8）∫，C:

44、z

45、1z+z+CzC(1)(4)zsinze

46、dz（9）dz，C:

47、z

48、2（10），C:

49、z

50、1∫C2∫C5⎛π⎞z⎜z−⎟⎝2⎠ze解（1）由Cauchy积分公式，dzπezπe22i2i∫z2Cz−21dzz+a1π（2）解1：∫22∫dz2πii，Cz−aCz−az+aazadz1⎡11⎤1π解2：∫22⎢∫dz−∫dz⎥[2πi−0]iCz−a2a⎣Cz−aCz+a⎦2aaizizizedzedz/(z+i)e（3）由Cauchy积分公式，∫2∫2πiπ/ez+1z-iz+iCCzi-2------------------------Page3-----

51、------------------（4）（5）（6）由柯西基本定理知：其结果均为0（7）因被积函数的奇点z±i在C的内部，z±2i在C的外部，故由复合闭路定理及Cauchy积分公式有：dzdzdz+∫22∫122∫122C(z+1)(z+4)

52、z−i

53、3(z+1)(z+4)

54、z+i

55、3(z+1)(z+4)11()(2)()(2)z+iz+4z