基本初等函数的图象与性质

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1、年级高三学科数学编稿老师何喜安课程标题基本初等函数的图象与性质一校林卉二校张琦锋审核王百玲一、考点突破：基本初等函数主要包括：一次函数、二次函数、反比例函数、指数函数、对数函数等，通过对以上函数的图象和性质的讨论与理解，要明确讨论函数性质的方法和步骤，理解基本初等函数在讨论一般函数时的基础作用。（1）了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和值域；了解映射的概念。在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法（如图象法、列表法、解析法）表示函数。（2）了解简单的分段函数，并能简单应用。（3）理解函数的单调性、最大（小）值及其几何意义；结合具体函数

2、，了解函数奇偶性的含义。（4）会运用函数图象理解和研究函数的性质。了解指数函数模型的实际背景。（5）理解有理指数幂的含义，了解实数指数幂的意义，掌握幂的运算。理解指数函数的概念，理解指数函数的单调性，掌握指数函数图象通过的特殊点。知道指数函数是一类重要的函数模型。（6）理解对数的概念及其运算性质，知道用换底公式能将一般对数转化成自然对数或常用对数；了解对数在简化运算中的作用。理解对数函数的概念；理解对数函数的单调性，掌握对数函数图象通过的特殊点。知道对数函数是一类重要的函数模型；（7）了解指数函数与对数函数互为反函数。（8）了解幂函数的概念。结合函

3、数的图象，了解它们的变化情况。基本初等函数是近几年高考命题的重点，主要分两种题型：一是考查初等函数的基本性质的基础题目，主要在选择题和填空题中出现；另一种是函数的综合题，包含函数应用问题和函数本身的综合题。对这两种题型都需予以重视。二、重难点提示：（1）要掌握基本初等函数—一次函数、二次函数、指数函数、对数函数的基本性质：定义域、值域、单调性、奇偶性、对称性、周期性等。熟记函数的基本性质。（2）用数形结合的观点理解的含义，理解为什么关于对称。进一步掌握其变形式与的应用。一、知识脉络图第10页版权所有不得复制二、知识点拨对于函数的每一条性质都要有全面

4、的理解，下面以函数单调性为例说明：（1）函数单调性的定义：如果函数对区间D内的任意，当时都有，则在区间D内是增函数；当时都有，则在区间D内是减函数．（2）设，那么在区间上是增函数；在区间上是减函数．（3）复合函数单调性的判断．遵循同增异减的原则（4）讨论函数单调性必须在其定义域内进行，因此要研究函数单调性必须先求函数的定义域，函数的单调区间是定义域的子集．（5）判断函数的单调性的方法有：定义法；用已知函数的单调性；利用函数的导数；单调函数的性质法；图象法；复合函数的单调性结论（同增异减）等．能力提升类例1若定义在R上的二次函数上是增函数，且，则实数

5、m的取值范围是A.B.C.D.第10页版权所有不得复制一点通：在该题中，函数可写成，二次函数图象的对称轴为，结合条件“在区间上是增函数”，可知二次函数图象开口向下，故，由图象的对称性又，画图可知m的取值范围是。答案：A点评：二次函数是基本初等函数的基础，对二次函数问题思维的顺序是：（1）二次项系数，确定图象开口；（2）对称轴，确定极值；（3）单调性。对含参问题的讨论，注意分类讨论的标准，既不重复，又不遗漏。例2（丰台一模）函数在区间上的值域是，则点的轨迹是图中的A.线段AB、ADB.线段AB、CDC.线段AD、BCD.线段AC、BD一点通：在该题中

6、，二次函数的对称轴为，函数的最小值为-1，故；再分和两种情况讨论即可。答案：A点评：这是一道涉及二次函数的极值与解析几何中的轨迹问题的综合题，对学生的识图能力和对函数知识的综合运用能力有一定的要求。需要学生把二次函数在闭区间的极值问题与轨迹（满足一定条件的点集）有机结合起来。综合运用类例3（湖南高考）某地建一座桥，两端的桥墩已建好，这两个桥墩相距米，余下的工程是建两端桥墩之间的桥面和桥墩，经预测，一个桥墩的工程费用为256万元，距离为米的相邻两桥墩之间的桥面工程费用为万元。假设桥墩等距离分布，所有桥墩都视为点，且不考虑其他因素，记余下的工程费用为万

7、元。（Ⅰ）试写出关于的函数关系式；（Ⅱ）当=640米时，需新建多少个桥墩才能使最小？一点通：本题中，桥墩数n与相邻两桥墩之间的距离是两个控制变量，要先找出这两个变量之间的关系，然后再根据条件列出函数关系式，进一步解决问题。解：（Ⅰ）设需要新建个桥墩才能使最小，所以。第10页版权所有不得复制（Ⅱ）由（Ⅰ）知，由，得，所以=64当0<<64时<0，在区间（0，64）内为减函数；当时，>0。在区间（64，640）内为增函数，所以在=64处取得最小值，此时，故需新建9个桥墩才能使最小。点评：函数应用问题是近几年高考命题的热点，准确理解题意是关键，在准确理解

8、题意的基础上，用正确的初等函数模型表示应用问题中变量的关系是解决此类问题的突破口。例4函数．（Ⅰ）若的定义域为，求实数的取