若对于函数f(x)定义域内任意一个x,都有f(-x)f(x),则称f(x)

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1、函数的奇偶性与周期性1.若对于函数f(x)定义域内任意一个x,都有f(-x)=f(x),则称f(x)为偶函数.一、函数的奇偶性2.若对于函数f(x)定义域内任意一个x,都有f(-x)=-f(x),则称f(x)为奇函数.二、简单性质研究半个区间！1.奇函数的图象关于原点对称,偶函数的图象关于y轴对称.反之成立！2.单调性:3.奇函数:f(0)=0(0在定义域中),偶函数:f(x)=f(

2、x

3、).3.若函数f(x)不具有上述性质,则称f(x)不具有奇偶性;若函数同时具有上述两条性质,则f(x)既是奇函数,又是偶函数.例:函数f(x)=0(x∈D,D关于原点对称)是既奇又偶函数.三、函数奇偶性

4、的判定方法1.根据定义判定:首先看函数的定义域是否关于原点对称,若不对称,则函数是非奇非偶函数;若对称,再判定f(-x)=f(x)或f(-x)=-f(x).2.利用定理,借助函数的图象判定:3.性质法判定:在公共定义域内,两奇函数之积(商)为偶函数;两偶函数之积(商)也为偶函数;一奇一偶函数之积(商)为奇函数.(注意取商时分母不为零!)有时判定f(-x)=±f(x)比较困难,可考虑判定f(-x)f(x)=0或判定=1.f(x)f(-x)四、函数的周期性如果存在一个非零常数T,使得对于函数定义域内的任意x,都有f(x+T)=f(x),则称函数f(x)为周期函数,T为函数的一个周期.若f

5、(x)的周期中,存在一个最小的正数,则称它为函数的最小正周期.五、典型例题1.判断下列函数的奇偶性：偶函数奇函数既奇又偶函数非奇非偶函数若周期函数f(x)的最小正周期为T,则f(x)(0)也为周期函数,且最小正周期为.

6、

7、T(1)f(x)=;2x(1+2x)2(2)f(x)=lg(x+x2+1);(3)f(x)=log2(1-x2+x2-1+1);(4)f(x)=(1-x);1-x1+x奇函数(5)f(x)=;

8、x+3

9、-3lg(1-x2)偶函数(6)f(x)=x(+).3x-11122.(1)设函数f(x)的定义域关于原点对称,判断下列函数的奇偶性:①F(x)=[f(x)+f(

10、-x)];②G(x)=[f(x)-f(-x)];1212(2)试将函数y=2x表示为一个奇函数与一个偶函数的和.3.设f(x)与g(x)分别为奇函数和偶函数,若f(x)-g(x)=()x,比12较f(1)、g(0)、g(-2)的大小.4.设函数f(x)的定义域关于原点对称,且满足:①存在正常数a,使f(a)=1;②f(x1-x2)=.求证:(1)f(x)是奇函数;(2)f(x)是周期函数,并且有一个周期为4a.f(x1)f(x2)+1f(x2)-f(x1)f(1)>g(0)>g(-2)偶函数奇函数y=(2x-2-x)+(2x+2-x)1212g(x)=-(2-x+2x).12f(x)=(

11、2-x-2x),12f(a+x)=1-,f(x)+12f(2a+x)=-,f(x)1f(4a+x)=f(x).5.已知定义在R上的函数y=f(x)满足f(2+x)=f(2-x),且f(x)是偶函数,当x∈[0,2]时,f(x)=2x-1,求x∈[-4,0]时f(x)的表达式.6.若对任意的x∈R,都有f(a+x)=f(a-x),且f(b+x)=f(b-x),其中b>a.则f(x)是以2(b-a)为周期的周期函数.8.已知f(x)是定义在R上的不恒为零的函数,且对于任意的a,b∈R都满足:f(ab)=af(b)+bf(a).(1)求f(0),f(1)的值;(2)判断f(x)的奇偶性,并证明

12、你的结论.9.已知f(x)是定义在R上的函数,且对于任意的a,b∈R都满足:f(a+b)+f(a-b)=2f(a)f(b)且f(0)0.(1)求证:f(x)是偶函数;(2)若存在正数m,使f(m)=0,求满足f(x+T)=f(x)的一个T(T0)的值.f(x)=2x+7(-4≤x≤-2)-2x-1(-2

13、为周期的周期函数.1.设f(x)(x∈R)是以3为周期的奇函数,且f(1)>1,f(2)=a,则()A.a>2B.a<-2C.a>1D.a<-12.已知奇函数f(x)在x>0时的表达式为f(x)=2x-,则当x<-时有()1214A.f(x)>0B.f(x)<0C.f(x)+f(-x)<0D.f(x)+f(-x)>0课堂练习3.函数f(x)=的奇偶性是()A.奇函数B.偶函数C.非奇非偶函数D.既是奇函数又是偶函数

14、x-2

15、4-x2