互为反函数的两个恒等式

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1、与的证明及在解题中的妙用函数存在反函数的充要条件是为从A到B的一一对应。若存在反函数，且其反函数为，则有恒等式：，。简证：设函数对任意，有点在的图像上，且点关于直线的对称点为由互为反函数的两函数的性质可知：点必在其反函数上故有同理可证，对，有这两个关系式，如实反应了互为反函数的两个函数之间自变量与函数值的特殊关系，如能准确把握，可对解题起到事半功倍之效。一.解图像问题例1.若函数其反函数为，则函数与函数的图像（）A.关于轴对称B.关于原点对称C.关于直线对称D.关于直线对称解析：将等价变形，化为两边同取对应

2、法则，得：，即原题即是判断与函数的图像关系。而函数可看成函数通过以下变换得到：分别以代换中的，所以函数与函数的图像关于对称。例2.已知函数的反函数为，将函数经过怎样的变换，可得到函数的图像（）A.作函数关于直线的对称图形，再向左平移2个单位。B.先将函数的图像右移2个单位，再下移1个单位，最后做关于的对称图像。C.先将函数图像右移2个单位，再下移1个单位。D.先将函数的图像左移2个单位，再上移1个单位。解析：将等价变形，化为，两边同取对应法则，得：，即，它的图像与完全相同，故选C。一.求抽象函数的反函数求抽

3、象函数的反函数，因为没有具体的函数表达式，所以不能按照求具体函数（有表达式）的一般方法求其反函数，但无论是具体函数还是抽象函数，求其反函数的关键乃是：1.将变成（或将变成）；2.交换的位置；3.写出定义域，故可利用上述关系求抽象函数的反函数。例3.若函数是的反函数，则的反函数的解析式为（）A.B.C.D.解析：对两边同取对应法则，得：，即，互换得，即为所求函数解析式。例4.若函数的反函数的图像与函数的图像图像对称，则的反函数的解析式为（）A.B.C.D.解析：由与的图像关于点对称，可求出，再用恒等式求其反函

4、数。本题即是求与关于点对称的函数的反函数问题。关于点对称的函数解析式即以代换中的，得，两过同取对应法则得，互换的位置得即为所求。一.求函数的值例5.已知函数，若与的图像关于直线对称，求的值。解析：如按照一般的解题思路我们有以下过程：，运算过程复杂且易出错，若由关系式直接求出的反函数表达式（即）后求值，则可以大大减小运算量，而且过程简洁明了。由两边同取对应法则得：，将互换得的反函数的表达式，故有