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1、楚雄师范学院数学系课程教案--数学分析专题选讲教案2-1--教案5(数学分析专题选讲,周学时三节,单四双二)周次第3周(2009.3.9-2009.3.15)课题第二专题函数连续性中的若干基本方法§2.1函数连续性§2.2闭区间上连续函数性质的应用学时2学时教学内容（主要）一.函数连续性讨论二.连续函数概念的应用一.零点存在定理的应用教学目标1.深刻理解函数连续性的概念2.熟练掌握讨论函数连续性的基本方法3.深刻理解和掌握闭区间上连续函数的性质4.熟练应用闭区间上连续函数性质证明和解决问题的技能技巧教学重点1.讨论函数连续性的基本方法2.应用闭区间上连续函数性质证明和解决问题的
2、技能技巧教学难点1.讨论函数连续性的基本方法2.应用闭区间上连续函数性质证明和解决问题的技能技巧教学方法与手段1.分析教学方法、对比教学方法、探索式的教学方法、讨论教学方法、综合教学方法2.借助多媒体辅助教学教学进程(教学设计)第二专题函数连续性中的若干基本方法§2.1函数连续性一.函数连续性讨论定义.设在的某去心邻域内有定义.(1).若和都存在,但不相等,则称是的第一类间断点.(2).若和至少有一个不存在,则称是的第二类间断点.(3).若和都存在,且相等,即存在,但在无意义,或在有意义,但,则称是的可去间断点.43是的第一类间断点.是的第二类间断点.图2.1.1图2.1.2是
3、的可去间断点.图2.1.3例1.讨论函数的连续性,并指出不连续点的类型.解:(1).43图2.1.4(2).因为,,,,.故在连续,在间断,且是的第一类间断点,是的第二类间断点.例2.讨论函数的连续性,并指出不连续点的类型.解:因为时,,故时连续.又因为时,,且,（为奇数）;，（为偶数）,故是第一类间断点.因此时连续,当时间断,且是第一类间断点.例3.讨论函数的连续性,并指出不连续点的类型.解:在,或时,无意义,故间断.令,则,故在内有.43令,则,故在内有,.因为,,,,,,,,故在内,是第二类间断点,是可去间断断点.例4.讨论函数的连续性,并指出不连续点的类型.解:因为,4
4、3故时连续,而分别是可去间断与第二类间断点.例5.讨论函数的连续性.解:当时,.设,则,于是,取,则当时,就有,故在连续.任取,分别取有理点列和无理点列,使,则,.若在连续,则,于是,矛盾.故在不连续.故在连续,而在不连续.例6.设连续,求的值.解:因为故,,.二.连续函数概念的应用例1.设在满足,且在连续,证明:是常数.证明:,因为,43故由在连续性,令,得.例2.设在满足,且在连续,证明:是常数.证明:,因为,故由在连续性,令,得.例3.设均有,且在点连续,证明:.证明:(1).,故,故由在处连续性,得.于是得.所以在连续,因此在连续.(2).,,,于是,.令,得,故.,,
5、得,于是,,有.,则存在,使得,故由的连续性,得.故.例4.设,且在处连续性,求.解:因为,43,,………………………………………..,故,于是由在处连续性,.令,则,故,于是.因此当时..…………………………………………………...于是由在处连续性,.例5.设在连续,且关于有理数单调,即对任意的,当时,有,证明:在单调.证明:设在连续,且关于有理数单增.任给,且.(1).若,则.(2).若,则存在,使得,且可使,故.(3).若,同(2)一样可证.(4).若,则存在,故.故在单增.例6.设在连续且为非常数的周期函数,证明:必存在最小正周期.证明:令,则存在,设.43由下确界的定
6、义,存在使得,故.于是由的连续性,得,即是的周期.由,得.若,则,于是,有,其中是整数,.令,则,故,即,矛盾.§2.2闭区间上连续函数性质的应用一.零点存在定理的应用定理1(零点存在定理).若在连续,且,则至少存在，使得,即在至少有一根.图2.2.1定理2(零点存在定理).若在连续,且,则至少存在，使得,即在至少有一根.例1.设,在连续,且,证明:方程在至少有一个根.43证明:令,则在连续,且,故由零点存在定理,方程在至少有一个根.例2.设在连续,证明:至少存在，使得.证明:令,则在连续,且;,故,于是由零点存在定理,至少存在，使得.例3.设在连续,,证明:存在使得.证明:令
7、,则在连续,且;,43故由零点存在定理,存在，使得.例4.设在连续,,证明:至少存在，使得.证明:当时,取,则.当时,令,则.若,或,…,或,则取,或取,…,或取即可.若,,…,,则必存在，使得,于是故由零点存在定理,至少存在，使得.故至少存在，使得.例5.设在连续,且,证明:至少存在，使得.证明:令,若在不变号,不妨设,,则,.于是43,.此与已知矛盾.故存在,使得;,于是由零点存在定理,至少存在,或,使得.例6.(广义零点存在定理)设在单增,且,证明:至少存在，使得.证明:作直线,则分别
