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《数学分析专题选讲教案(3.1)》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、楚雄师范学院数学系课程教案--数学分析专题选讲教案3-1--教案7(数学分析专题选讲,周学时三节,单四双二)周次第5周(2009.3.23-2009.3.29)课题第三专题微分中值定理中的若干基本方法§3.1微分中值定理的应用学时2学时教学内容（主要）一.中值定理的应用教学目标1.深刻理解中值定理2.能熟练应用中值定理证明和解决问题.教学重点1.应用中值定理证明和解决问题的技能技巧教学难点1.应用中值定理证明和解决问题的技能技巧教学方法与手段1.分析教学方法、对比教学方法、探索式的教学方法、讨论教学方法、综合教学方法2.借助多媒体辅助教学教学进程(教学设计)第三专题微分中值定理
2、中的若干基本方法§3.1微分中值定理的应用一.中值定理的应用定理1(中值定理).设满足条件:(1).在连续;(2).在可导;(3).,则至少存在,使得,即方程在至少有一根.图3.1.157例1.不求的导数,讨论根的范围.解:因满足条件:(1).在连续;(2).在可导;(3).,故由中值定理,在至少有一根.又至多有个根,且互不相交,故在内各有一根.图3.1.2例2.设，且,证明:方程在至少有一根.证明:令,则满足条件:(1).在连续;(2).在可导;(3)..故由中值定理,方程在至少有一根,即,在至少有一根.例3.设在存在阶导数,,且,,证明:至少存在,使得.证明:不妨设,则满足
3、条件:(1).在连续;(2).在可导;(3).,故由中值定理,至少存在,使得.57图3.1.3又满足条件:(1).在连续;(2).在可导;(3).,故由中值定理,至少存在,使得.图3.1.4……………………………………………………………………………………又因满足条件:(1).在连续;(2).在可导;(3).,故由中值定理,至少存在,使得.图3.1.5例4.设在非负或非正、存在阶导数,且在内存在个互异实根,证明:至少存在,使得.证明:设在存在的个互异实根为,且,则.由于在非负或非正,故是在的极小值或极大值,于是.令,则在存在阶导数,且,故由例3,至少存在,使得,即至少存在使得,.
4、例5.设在存在阶导数,且,证明:至少存在,使,其中.57证明:因满足条件:(1).在连续;(2).在内可导;(3).,故由中值定理,至少存在,使得.又因,故满足条件:(1).在上连续;(2).在内可导;(3).,故由中值定理,至少存在,使得.…………………………………………………………………………………………………再因,故满足条件:(1).在连续;(2).在可导;(3).故由中值定理,至少存在,使得.而,故满足条件:(1).在连续;(2).在可导;(3).,故由中值定理,至少存在,使得.………图3.1.6例6.设在存在阶导数,,且,,证明:,至少存在,使得.证明:不妨设,令,则
5、在内存在阶导数,且当.故由例3,至少存在,使得.而,57于是至少存在,使得.例7.设,在连续,在可导,且,若在有两个零点,证明:在这两个零点间,至少有一个零点.证明:设，，，，则由条件知,.若在内均不等于，则在满足中值定理条件,故存在使，即,于是.此与矛盾.因此,在内至少有一个零点.例8.设在可导,证明:在任何两个零点之间,方程至少存在一根.证明:设为两个零点,令,则满足条件:(1).在连续;(2).在可导;(3).,于是由中值定理,至少存在,使得.而,故.即方程在内至少存在一根.例9.设在连续,在可导,,且,,证明:至少存在,使得.证明:因在连续,故由最值性定理,在存在最大值
6、和最小值.令,则57.故由介值性定理至少存在,使得.因此,满足条件:(1).在连续;(2).在可导;(3).,于是由中值定理,至少存在,使得.例10.设在上可导,且,,证明:至少存在,使得.证明:由积分中值定理,至少存在,使得.令,则满足条件:(1).在连续;(2).在可导;(3).,于是由中值定理,至少存在,使得.而.故,于是至少存在,使得.课后教学总结课外作业习题3.1:1,3,4,.实践与思考57单元测试与分析57
