《线性代数》d复习(部分关系和结论)

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1、《线性代数》复习一．题型：填空题；选择题；计算题；简述题；证明题二．几个专题（一）行列式：1．阶行列式的定义；2．用定义计算具有少量非零元素的行列式；3．行列式的五条性质及其推论；4．行列式按行（列）展开及其推论注：各类行列式的计算（二）方阵可逆的定义及其等价条件：1．；2．（或）；3．（即非奇异）；4．的阶数（即满秩）；5．只有零解（或对任何非零向量，）；6．有唯一解；7．（为初等矩阵，）；8．~（即与等价）；9．的列（行）向量组线性无关；10．的特征值全不为零；11．（）正定（三）的逆矩阵计算：1．由矩阵方程解出；或由解出的

2、第列；2．；3．（四）有关秩的结论：1．；2．；3．若，则；4．若，可逆，则；5．（若用分别表示的列阶梯型，，后者的非零列数为，故其秩不会超过）；6．（,所以）；7．；8.若非奇异，则；8．（通过与同解）；9．若，则；10．矩阵的秩等于它的列（行）向量组的秩；11．矩阵的秩，向量组的秩，二次型的秩，线性变换的秩（P183）的定义；注：矩阵的秩及其最高阶非零子式的计算，向量组的秩，极大无关组的计算以及向量组的其它向量用极大无关组表示的问题（五）向量组线性相关性的结论：1．向量组线性相关有非零解矩阵的秩；2．当时，个维向量必线性相关

3、；3．线性相关向量组的扩充向量组仍线性相关，特别含零向量的向量组线性相关；4．（）线性相关至少其中有一个向量可用其余个向量线性表示；5．个维向量线性相关；6．线性相关的各分量对应成比例；7．若向量组可由线性表示且线性无关，则的向量个数不超过的向量个数注：线性相关性的判定和证明（六）与线性方程组解有关的结论：1．元齐次线性方程组有非零解；特别，若的行数小于，则必有非零解；2．元齐次线性方程组的解集是一个向量空间（解空间）；若，则解空间的维数，设是基础解系，那么的通解为；3．元非齐次线性方程组有解；特别，若的行向量组线性无关，则必有

4、解(因为此时增广矩阵的行向量组线性无关)；4.元非齐次线性方程组有解可以由的列向量组线性表示与等价；5．设，唯一解对应，无限多解对应。在无限多解的情况下的通解为，其中是的基础解系，是的特解；6．若，则元非齐次线性方程组有个线性无关解；7．设是非齐次线性方程组的解，并令，那么是的解是的解注：线性方程组解的讨论和具体计算（七）方阵正交的定义及其等价条件：1．（或）；2．；3．的列（行）向量都为单位向量且两两正交；4．对任何和，成立（：。：记，则，，故，从而。）（八）对称矩阵为正（负）定的定义及其等价条件：1．对任何，成立；2．二次型

5、的标准形的个系数全为正（负）（或正（负）惯性指数为）；3．的特征值全为正（负）；4．的各阶主子式全为正（奇数阶为负，偶数阶为正）；5．可逆且正（负）定（利用与特征值同号）；6．负（正）定（按定义推得）注：半正（负）定问题（九）特征值和特征向量的性质及其计算，例如特征值的两个等式关系；与，与的特征值和特征向量的关系；不同特征值的特征向量的线性相关性问题；对称矩阵不同特征值的特征向量的正交性问题(十)化二次型为标准形（配方法，正交变换法）（十一）几种矩阵关系1．等价关系，矩阵等价的不变量（秩），矩阵标准形；2．相似关系，矩阵相似的不

6、变量（特征值），可对角化问题，约当标准形；3．合同关系，矩阵合同的不变量（有定性）（十二）线性空间（向量空间）和线性变换1．判定是否为线性空间（向量空间）；2．基到基的过渡矩阵，不同基下的坐标变换；3．线性变换在基下的矩阵，同一线性变换在不同基下的矩阵的转化一．可比较的一些关系●一般不成立（例如取，，偶数）●（和都对称时，也对称）●一般不成立（例如，）●和均正交推不出正交(列（行）向量长度)●和均正定可推得正定（）●●一般不成立，应有●一般不成立，应有●和均正交可推得正交()●和均正定推不出正定（未必对称）（例如，均正定，但不对

7、称）●●（）●●●一般不成立，应有●一般不成立，应有●若正交，则（）●●●若可逆，则（,）●（当），（当）（当：设，，当：(1)若，则，从而.(2)若，由于，所以的列是的解，因而，这表明的任何阶子式均等于零，故.(3)若，则，从而）●（当）（如上按，，分别讨论）●与相似与相似（由定义推得）●阶方阵有个不同的特征值与对角阵相似（不能反推）●阶方阵与相似存在阶方阵，使（由定义推得，除非可逆一般不能反推，例如取，，，，但特征值不同）●与相似（由定义推得，不能反推，例如，，，但特征值不同）●与相似与的特征多项式相同（不能反推，例如，，特

8、征多项式均为，但秩不同）●与相似不能推出与具有相同的特征向量（例如，，正交，==，但和的特征向量分别为和）●与具有相同的特征值，但不一定具有相同的特征向量（见上例）●，●对于子块为方阵的分块矩阵的行列式一般不成立（比较二阶行列式）（例如，，，，右端为零，而左端为