【数学】甘肃省天水市一中2013-2014学年高二上学期期末考试（理）

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1、一、选择题（每题4分，共40分）1．设复数满足,则（　）A．B．C．D．2..若,则等于（）A．sin2+cos2B．cos2C．sin2D．sin2-cos23．已知点在平面内，并且对空间任一点，则的值为()A．B．C．D．4.曲线在点处的切线方程为（）A.B.C.D.5．函数f(x)＝(x－3)ex的单调递增区间是(　　)A．(－∞，－2)B．(0,3)C．(1,4)D．(2，＋∞)6．设x、y、z＞0，a＝x＋，b＝y＋，c＝z＋，则a、b、c三数(　　)A．至少有一个不大于2B．都小于2C．至少有一个不小于2D．都

2、大于27．已知函数f(x)的导函数的图像如图所示，那么函数f(x)的图像最有可能的是()8．如图，正方体的棱长为1，O是底面的中心，则O到平面的距离为()8A．B．C．D．9．由直线y＝2x及曲线y＝3－x2围成的封闭图形的面积为(　　)A．2B．9－2C.D.10．已知函数f(x)＝x3＋x，对任意的m∈[－2,2]，f(mx－2)＋f(x)<0恒成立，则x的取值范围为（）A.(,＋∞)B.(-∞,－2)C.D.(-∞,－2)∪(,＋∞)二．填空题（每题4分，共16分）11．＝________.12．已知直线m,n与平面

3、α,β,给出下列三个命题:①若m∥α,n∥α,则m∥n;②若m∥α,n⊥α,则n⊥m;③若m⊥α,m∥β,则α⊥β.其中真命题的个数是______个13．f(x)＝2x4－3x2＋1在上的最大值、最小值分别是14．观察（1）（2）由以上两式成立，推广到一般结论，写出你的推论是。三.解答题(共46分)15．（10分）设f(x)＝x3＋ax2＋bx＋1的导数f′(x)满足f′(1)＝2a，f′(2)＝－b，其中常数a，b∈R.(1)求曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程；(2)设g(x)＝f′(x)e－x，求函数g

4、(x)的极值．16.（10分）用数学归纳法证明：；817．（12分）已知四棱锥的底面为直角梯形，，底面，且，，是的中点。（Ⅰ）证明：面面；（Ⅱ）求与所成的角；（Ⅲ）求面与面所成二面角的余弦值大小。18．（12分）已知函数f(x)＝ln－ax2＋x(a>0)．(1)若f(x)是单调函数，求a的取值范围；(2)若f(x)有两个极值点x1，x2，证明：f(x1)＋f(x2)>3－2ln2.8天水一中2012级（高二）期末考试数学试题（理科）参考答案一、选择题（每题4分，共40分）9．解析：注意到直线y＝2x与曲线y＝3－x2的交

5、点A，B的坐标分别是(－3，－6)，(1,2)，因此结合图形可知，由直线y＝2x与曲线y＝3－x2围成的封闭图形的面积为(3－x2－2x)dx＝＝3×1－×13－12－＝，选D.答案：D10．已知函数f(x)＝x3＋x，对任意的m∈[－2,2]，f(mx－2)＋f(x)<0恒成立，则x的取值范围为________．解析：∵f′(x)＝3x2＋1>0恒成立，∴f(x)在R上是增函数．又f(－x)＝－f(x)，∴y＝f(x)为奇函数．由f(mx－2)＋f(x)<0得f(mx－2)<－f(x)＝f(－x)，∴mx－2<－x，即m

6、x－2＋x<0在m∈[－2,2]上恒成立．记g(m)＝xm－2＋x，则即8解得－2

7、－b，因此12＋4a＋b＝－b，解得a＝－.因此f(x)＝x3－x2－3x＋1，从而f(1)＝－.8又因为f′(1)＝2×＝－3，故曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为y－＝－3(x－1)，即6x＋2y－1＝0.(2)由(1)知g(x)＝(3x2－3x－3)e－x，从而有g′(x)＝(－3x2＋9x)e－x.令g′(x)＝0，得－3x2＋9x＝0，解得x1＝0，x2＝3.当x∈(－∞，0)时，g′(x)<0，故g(x)在(－∞，0)上为减函数；当x∈(0,3)时，g′(x)>0，故g(x)在(0,3)上为增函

8、数；当x∈(3，＋∞)时，g′(x)<0，故g(x)在(3，＋∞)上为减函数．从而函数g(x)在x1＝0处取得极小值g(0)＝－3，在x2＝3处取得极大值g(3)＝15e－3.16．（10分）提示；当时，左边=.17（12分）证明：以为坐标原点长为单位长度，如图建立空间直角坐标系，则各点坐标为.（Ⅰ）证