灰色模型在桥梁状态预测中的应用

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（d）各影响因素之间的联系是灰色的。首先各种因素和桥梁工作状态的联系是灰色的，例如桥梁各部件损伤等级评价只能用有限的整数来表示，评分与工作状态之间的联系是灰色的。其次，各因素之间的联系也是灰色的，例如运用层次分析法评估结构的技术状况，各部分的权重确定具有主观因素，权重的概念就是各部分在系统中所占比重，体现了相互之间关系的灰性。1.2灰色系统与其他不确定性方法的比较概率统计、模糊数学和灰色系统理论是三种最常用的不确定性系统的研究方法，三者研究对象都具有某种不确定性，这是三者的共同点。三者的区别在于：（a）模糊数学着重研究：“认知不确定问题”，其研究对象具有“内涵明确、外延不明确”的特点。例如“危桥”这个概念的内涵很明确，一般人都清楚其含义；但如果划分一个明确的范围就很难办到，这就是其外延不明确。对于这类认知不明确的问题，模糊数学主要是凭经验借助于隶属函数进行处理。（b）概率统计研究的是“随机不确定”现象，着重于考察此现象的历史统计规律，考察多种可能发生的结果，研究每一种结果发生的可能性。其研究出发点是大样本，并要求对象服从某种典型的分布。（c）灰色系统着重研究概率统计、模糊数学所不能解决的“小样本、贫信息不确定”问题，并根据信息覆盖，通过序列生成寻求现实规律、其特点是“少数据建模”，与模糊数学不同的是，灰色系统理论着重研究“外延明确、内涵不明确”的对象。例如桥梁技术状况预测中，已知桥梁各年评分的确切数值，但不清楚确切的退化规律是什么，这就需要由灰色系统理论来分析。2灰色理论预测模型2.1灰色生成函数和灰色微分方程灰色系统理论与方法的核心是灰色模型，灰色模型的特征是生成函数和灰色微分方程。灰色模型是以灰色生成函数概念为基础，以微分拟合为核心的建模方法。下面分别介绍灰色生成函数、灰色微分方程的概念。（a）灰色生成函数灰色系统理论认为，一切随机量都是在一定范围内、一定时间段上变化的灰色量和灰过程。对灰色量的处理不是寻求他的统计规律和概率分布，而是将杂乱无章的原始数据列，通过一定的方法处理，变成比较有规律的时间序列数据，然后建立灰色模型。对原始数据以一定的方法进行处理的原因，一是为建立模型提供中间信息；二是将原始数据的波动性弱化。若给定原始时间数据列：（b）GM模型和白化方程灰色系统建模的思想是直接将时间序列转化为微分方程，通过灰色微分方程可以建立抽象系统的发展模型。即灰色模型（GreyModel）简称GM，建立的GM(,)模型为灰色微分方程，与灰色微分方程相对应的是其白化方程，也称影子方程。白化方程是微分方程的时间连续函数模型，微分方程的阶数为，变量的个数为，具体微分方程的形式为：(1)则微分方程的系数向量为：，设矩阵为累差生成矩阵，矩阵为累加生成矩阵，为、组成的分块矩阵，最小二乘法求解得到白化方程的解为：(2)2.2GM(1，1)模型 GM(1,1)模型是指只有一阶方程、一个变量的灰色模型。它是单序列一阶线性动态模型，主要用于长期预测建模。其灰色微分方程为：，其中(3)灰色微分方程的白化方程为：(4)参照(2)式，一阶微分方程中，矩阵，则系数向量为：(5)其中累加矩阵，微分方程(4)的解为时间函数：(6)用生成序列回代方法可以得到：(7)2.3GM（1，1）模型的精度检验GM(1,1)模型精度检验的内容主要有：相对误差检验，关联度检验、均方差比值检验和小误差概率检验。常用的预测精度等级见表1所示：表1精度检验等级参照表等级划分相对误差关联度均方差比值小误差概率一级(Good)＜0.01＞0.90＜0.35＞0.95二级(Qualified)＜0.05＞0.80＜0.50＞0.80三级(WithintheMark)＜0.10＞0.70＜0.65＞0.70四级(BelowtheMark)≥0.10≤0.70≥0.65≤0.70 当GM(1,1)模型的精度不符合要求时，可用残差序列建进行修正。首先将残差序列进行累加，构成累加生成序列：，其中(8)对建立GM(1,1)模型：(9)使用求解预测模型同样的方法可以得到残差修正的生成预测值：(10)通过生成预测值的回推，可以得到残差修正的实际预测值：(11)将其加到原预测值上，可得修正后的预测值。残差修正可反复进行，直至得到满意的精度为止。2.4GM（1，1）模型基本计算程序流程图GM(1,1)模型的基本计算程序流程图如图1所示。 开始输入数据计算计算矩阵求解系数建立GM模型时间函数检验是否通过根据求求关联度是否求,计算检验是否通过计算预测值否是是否符合要求结束否图1GM(1,1)模型的基本计算程序流程图3桥梁技术状况预测实例分析3.1算例设管理单位对一座已建桥梁进行连续四年的检测评估，得到桥梁使用第4、5、6、7年后桥梁技术状况指数BCI分别为（87.29，84.28，81.32，78.46），根据以上信息进行桥梁缺损状况退化趋势的预测。3.2回归预测分析设回归方程为：其中，拟合结果见图2回归分析拟合曲线图所示。 图2回归分析拟合曲线图得到：，即回归分析的曲线为：回归曲线上估计值根据回归分析曲线可以求得，预测未来4年的预测值为：3.3灰色系统预测分析采用GM(1,1)模型进行计算步骤如下：（a）计算生成序列首先生成的1-AGO递增序列：（b）计算GM(1,1)模型微分方程及白化方程对计算紧邻均值生成： 累加矩阵，GM(1,1)模型微分方程的白化方程为：（c）计算模拟值、和预测值白化方程的解为时间函数：将代入上式得到模拟值用生成序列回代方法可以得到模拟值以此类推可以计算预测未来4年的预测值（d）计算精度检验1）相对误差，可以分别求出与之间的各相对误差。其中，精度完全满足一级要求。2）计算与之间的斜率关联度即，关联度为一级。 3）计算均方差比值残差与残差平均值为：，，即均方差比值精度达到一级。4）计算小误差概率即小误差概率精度达到一级要求。3.4回归预测分析与灰色系统预测分析比较将计算结果整理如表2所示。表2回归预测分析与灰色系统预测分析比较表初始序列87.2984.2881.3278.46回归统计初值456787.416984.144581.213978.58120.00150.00160.00130.0015回归统计预测值89101176.2074.0472.0770.26灰色系统初值123487.290084.271881.310478.45310.00000.00010.00010.0001灰色系统预测值567875.696173.036170.469567.99323结语根据以上分析，可以得到以下结论：（a）在平滑的数列预测中，回归统计预测和灰色系统预测的精度都很高，但灰色系统预测的精度高于回归统计分析。（b）回归统计预测与初始基准年份相关；灰色系统预测不需要考虑初始基准年份，但灰色系统预测的数据必须是等时间差的统计数据。（c）灰色系统预测的评估结果比回归分析结果小，这与桥梁退化过程后期退化趋势加快的现象一致，即灰色系统预测比回归统计预测适应性强。 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