02 第二节 可分离变量的微分方程79442

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1、第二节可分离变量的微分方程微分方程的类型是多种多样的，它们的解法也各不相同.从本节开始我们将根据微分方程的不同类型，给出相应的解法.本节我们将介绍可分离变量的微分方程以及一些可以化为这类方程的微分方程，如齐次方程等.内容分布图示★可分离变量微分方程★例1★例2★例3★例4★例5★齐次方程★例6★例7★例8★例9★例10★可化为齐次方程的微分方程★例11★例12★例13★例14★内容小结★课堂练习★习题8-2★返回内容要点：一、可分离变量的微分方程设有一阶微分方程,如果其右端函数能分解成，即有.(2.1)则称方程(2.1)

2、为可分离变量的微分方程，其中都是连续函数.根据这种方程的特点，我们可通过积分来求解.求解可分离变量的方程的方法称为分离变量法.二、齐次方程：形如(2.8)的一阶微分方程称为齐次微分方程，简称齐次方程..三、可化为齐次方程的方程：对于形如的方程，先求出两条直线的交点，然后作平移变换即这时，，于是，原方程就化为齐次方程例题选讲：可分离变量的微分方程例1（讲义例1）求微分方程的通解.例2（讲义例2）求微分方程的通解.注：在用分离变量法解可分离变量的微分方程的过程中,我们在假定的前提下,用它除方程两边,这样得到的通解,不包含使的

3、特解.但是,有时如果我们扩大任意常数C的取值范围,则其失去的解仍包含在通解中.如在例2中，我们得到的通解中应该，但这样方程就失去特解，而如果允许，则仍包含在通解中.例3已知当时,求例4（讲义例3）设一物体的温度为100℃，将其放置在空气温度为20℃的环境中冷却.试求物体温度随时间的变化规律.注：物体冷却的数学模型在多个领域有广泛的应用.例如，警方破案时，法医要根据尸体当时的温度推断这个人的死亡时间，就可以利用这个模型来计算解决，等等.设一物体的温度为100℃，将其放置在空气温度为20℃的环境中冷却.试求物体温度随时间的变

4、化规律.注：物体冷却的数学模型在多个领域有广泛的应用.例如，警方破案时，法医要根据尸体当时的温度推断这个人的死亡时间，就可以利用这个模型来计算解决，等等.例5（讲义例4）某公司t年净资产有(百万元),并且资产本身以每年5%的速度连续增长,同时该公司每年要以300百万元的数额连续支付职工工资.(1)给出描述净资产的微分方程;(2)求解方程,这时假设初始净资产为(3)讨论在三种情况下,变化特点.齐次方程例6（讲义例5）求解微分方程满足初始条件的特解.例7求解微分方程例8（讲义例6）求解微分方程例9求下列微分方程的通解:例10

5、（讲义例7）设商品A和商品B的售价分别为已知价格与相关,且价格相对的弹性为求与的函数关系式.可化为齐次方程的方程例11（讲义例8）求的通解.例12（讲义例9）利用变量代换法求方程的通解.例13求微分方程的通解.例14求下列微分方程的通解:课堂练习1.求微分方程的通解.2.求微分方程的通解.3.方程是否为齐次方程?