高中数学 第二章 数列 . 数列的通项公式与递推公式同步学案（无答案）新人教a版必修

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1、数列的通项公式与递推公式学习目标：1.递推公式是给出数列的一种方法，根据特殊的递推公式可以求出数列的通项公式.2.掌握把一些简单的数列变形转化为等差数列、等比数列的方法，体验解决数列问题的基本方法及理解运用的过程.学习重点：处理递推关系的基本方法.学习难点：通过变形转化成等差、等比数列的有关问题.1.利用数列的前项和，例1：各项全不为零的数列{ak}的前k项和为Sk,且Sk＝N*),其中a1=1.Z求数列ak。解：当，由及，得．当时，由，得．因为，所以．从而．，．故．练习1：已知数列的前项和，则其通项；若它的第项满足，则．练习2：：设数列满足，．求数列的通项。解：验证时也满足上式，练习3

2、：数列的前项和为，，．求数列的通项解：（I）∵an+1=2Sn,,∴Sn+1-Sn=2Sn,∴=3.又∵S1＝a1=1,∴数列｛Sn｝是首项为1、公比为3的等比数列，Sn=3n-1(n∈N*).∴当n2时，an-2Sn-1=2·3n-2(n2),∴an=11练习4：已知各项均为正数的数列的前项和满足，且，．求的通项公式。解：由，解得或，由假设，因此，又由，得，即或，因，故不成立，舍去．因此，从而是公差为，首项为的等差数列，故的通项为．2．利用递推关系2．1递推关系其中为常数由递推式得，诸式相加，得，即为累加法求数列通项公式。例1：数列中，，（是常数，），且成公比不为的等比数列．求的通项公

3、式．解：，，，因为，，成等比数列，所以，解得或．当时，，不符合题意舍去，故．当时，由于，，，所以．又，，故．当时，上式也成立，所以．练习1：已知数列满足，求数列的通项公式。11解：当时，当时，也满足上式，故。练习2：已知数列满足，且，求数列的通项公式。解：两边同除以，得，令，有：，且，从而，故。2．2递推关系其中为常数由递推式得，诸式相乘，得，即为累乘法求数列通项公式。例1：已知数列的首项，其前项和，求数列的通项公式。解：由，得，所以故，诸式相乘得，即，当时也满足上式。故。练习1：数列满足且，求数列的通项公式。解：，即，从而。2．3递推关系其中为常数且令，整理得，所以，11即，从而，所以

4、数列是等比数列。例5：已知数列中，，，求的通项公式。解：，．所以，数列是首项为，公比为的等比数列，，即的通项公式为，．练习1：设数列的首项．求的通项公式。解：由整理得．又，所以是首项为，公比为的等比数列，得练习2：已知数列：3，5，7，9，…，，…。另作一数列，使得，且当时，，求数列的通项公式。解：由已知得，有，所以，故。练习3：数列中，设且，求数列的通项公式。解：由得，令，有，则，所以，从而，故。112．4递推关系其中为常数且，为非常数由递推式两边同除以，得，对此采用2.1中所述的累加法可求。例1：在数列中，，其中．求。解：由N可得所以为等数列，其公差为1，首项为0.故所以数列的通项公

5、式为练习1：数列的前项和为且满足，求。解：由有：，两式相减得：即：，两边同除以，得：，令，则，从而。故。2．5递推关系其中为常数2．5．1若时，，即，知为等比数列，对此采用3.1中所述的累加法可求。例1：已知数列满足，求数列的通项公式。解：由两边减去得：，所以是公比为，首项为的等比数列，所以，11即，即练习1：已知数列中，，求数列的通项公式。解：由两边减去得：，所以是公比为，首项为的等比数列，所以，即，即2．5．2若时，存在满足，整理得，有，从而是等比数列，对此采用2.4中所述的方法即可。3．利用倒数变形，,两边取倒数后换元转化为。例1：已知数列满足：，求数列的通项公式。解：取倒数：是等

6、差数列，练习1：数列满足：，且，求。11解：将条件变为：1－＝，因此为一个等比数列，其首项为1－＝，公比，从而1－＝，据此得＝。练习2：数列满足：，，求数列的通项公式。解：，所以，令，则，因而是首项为，公差为的等差数列，所以，故。4．利用归纳猜想例1：设正整数数列满足：，且对于任何，有．（1）求，；（2）求数列的通项．解：由，，，猜想：．下面用数学归纳法证明．1当，时，由（1）知均成立；2假设成立，则，则时由①得因为时，，所以．11，所以．又，所以．故，即时，成立．由1，2知，对任意，．练习1：已知点的序列，其中，，是线段的中点，是线段的中点，…，是线段的中点，…（1）写出与之间的关系式

7、（）。（2）设，计算，并求出数列的通项公式。解：（1）当（2）由此推测，下面用数学归纳法证明：①②假设当n=k时公式成立，即成立，那么当n=k+1时公式仍成立综上对任意公式都成立。5．利用函数的不动点（方程的特征根）5．1若数列满足，且是方程的最小根，则。例1：已知数列满足，求数列的通项公式。解：令，则是其最小根，得，由题意知，两边取对数，得，两边同时加1，11得：，故是首项为公比为2的等比数列，所以，故。5．2若数列满足且。5．2