特征函数及其应用

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1、特征函数及其应用摘要在概率论和数理统计中,求独立随机变量和的分布问题是经常遇到的，经过人们不断的探索和研究，终于发现了另一个重要工具——特征函数，它是处理许多概率论问题的有力工具，它能把寻求独立随机变量和的分布的卷积运算（积分运算）转换成乘法运算，本文介绍了特征函数的基本概念、主要性质以及特函数的一系列应用.[关键词]随机变量特征函数积分10ABSTRACTInprobabilitytheoryandmathematicalstatistics,findthedistributionofindependentrandomvariablesandt

2、heproblemisoftenencounteredafterpeoplecontinuetoexploreandresearch,finallyfoundanotherimportanttool-characteristicfunction,itistodealwithmanyproblemsofprobabilitytheorypowerfultool,itcanseekindependentrandomvariablesandthedistributionofconvolution(integralcomputation)intoamul

3、tiplication,thisarticleintroducesthebasicconceptsofcharacteristicfunction,themaincharacterandthespecialfunctionofthenumberofapplications.[KeyWords]Randomvariable,Characteristicfunction,Integration10目录一、引言1二、特征函数的定义2三、常用分布的特征函数2四、特征函数的主要性质3五、特征函数的应用6六、结论10参考文献11致　谢1210特征函数及其应用

4、一、引言随机变量是数学研究中经常遇到的一项重要内容。随机变量的分布函数则可以全面的描述随机变量的统计规律，但是，有时候分布函数或分布密度这些工具使用起来并不方便，如求独立随机变量和的分布密度，用卷积求太烦琐和复杂，这里将从介绍特征函数的定义、性质出发,介绍如何用特征函数更方便、优越的表示随机变量的分布,并在随机变量的基本性质引导下,讨论并阐述特征函数的各种应用.特征函数也是概率论中研究极限定理的重要工具。.10二、特征函数的定义设是一个随机变量，称,,为的特征函数.因为，所以总是存在的，即任一随机变量的特征函数总是存在的.当离散随机变量的分布列为

5、，则的特征函数为,.当连续随机变量的密度函数为,则的特征函数为,.与随机变量的数学期望，方差及各阶矩阵一样，特征函数只依赖于随机变量的分布，分布相同则特征函数也相同，所以我们也常称为某分布的特征函数.三、常用分布的特征函数1、单点分布：其特征函数为2、分布：，其特征函数为，其中.3、泊松分布：，k=0,1，，其特征函数为10.4、均匀分布：因为密度函数为所以特征函数为.5、标准正态分布：因为密度函数为，.所以特征函数为=.其中.四、特征函数的主要性质现在我们来研究一下特征函数的一些性质，其中表示的特征函数.1、.证明=.2、,其中表示的共轭.证明

6、=.103、若Y=,其中，是常数，则.证明.4、独立随机变量和的特征函数为特征函数的积，即设与相互独立，则.证明因为与相互独立，所以与也是相互独立的，从而有.5、若存在，则的特征函数可次求导，且对1k,有.证明因为存在，也就是，于是含参变量的广义积分可以对求导次，于是对，有,令=0即得.6、一致连续性随机变量的特征函数在（）上一致连续.证明设是连续随机变量（离散随机变量的证明是类似的），其密度函数为，则对任意实数，和正数>0,有10.对任意的，先取定一个充分大的，使得，然后对任意的x，只要取，则当时，便有2.从而对所有的t，有，即在上一致连续.7

7、、非负定性随机变量的特征函数是非负定的，即对任意正整数，及个实数和个复数，有.证明设是连续随机变量，其密度函数为，则有====.108、唯一性定理随机变量的分布函数有其特征函数唯一确定.证明对的每一个连续点，当沿着的连续点趋于时，由逆转公式得，而分布函数由其连续点上的值惟一决定，故结论成立.9、若为连续随机变量，其密度函数为，特征函数为，如果，则.证明记的分布函数为，由逆转公式知=.再次利用不等式，就有.又因为，所以可以交换极限号和积分号，即=.五、特征函数的应用1、在求数字特征上的应用求分布的数学期望和方差.由于的分布的特征函数为,于是由得，1

8、0,,由此即得.我们可以看出用特征函数求正态分布的数学期望和方差,要比从定义计算方便的多.2、在求独立随机变量和的分布上的应用利用归纳法