特征函数的性质及其应用

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1、特征函数的性质及其应用摘要在一般情况下，数学期望、方差只能粗略地反映分布函数的某些性质，能够完全刻画分布函数的是它的特征函数•特征函数有时比分布函数更便于应用•如：耍研究独立随机变量和，就要求出它的分布函数，而独立随机变量和的分布律是各随机变量分布律的卷积，计算起来很复杂。但独立随机变量和的特征函数等于它的各被加项的特征函数的乘积。本文首先讨论了特征函数的一些性质及如何判别一个函数是否为特征函数；然后给出了特征函数与分布函数之间存在一一对应关系，并通过举例说明了特征函数在求数学期望与方差、证明极限定理、证明恒等式等方面的应用•这些都进

2、一步说明了有时用特征函数比用分布函数做随机变量的研究工具更方便.关键词特征函数分布函数数学期望1引言除了一些特殊的分布（如二项分布、普哇松分布、正态分布等）被它的数学期望和方差所唯一决定外。在一般情况下，数学期望、方差只能粗略地反映分布函数的某些性质，能够完全刻画分布函数的是它的特征函数•特征函数有时比分布函数更便于应用。例如，研究独立随机变量和的分布时，用分布函数是求卷积，而用特征函数则化为简单的乘法；矩的计算对分布函数是积分而对特征函数则是微分；在极限定理的研究中，特征函数尤其起着重要的工具作用.特征函数既能完全确定分布函数，又在

3、处理独立随机变量和的分布及计算数字特征等方面比分布函数更为方便，这使得有必要进一步讨论特征函数的相关性质及其应用.2特征函数的定义及性质2.1定义设厲（兀）是随机变量纟的分布函数，称函数①⑴二E严二J二严d心（兀）（-oo

4、函数为①⑴二(p/+qy・3.普哇松分布p⑺的特征函数为①⑴二/宀).4.若纟服从[%]上的均匀分布，则歹的特征函数为1［宀°"""0①⑴二上严dx=i(b~a)t・b—Cll,r=0•品25•设g~NW则§的特征函数为zlUt①⑴二丘2.6.设S则§的特征函数为①⑴=2—・1丿A-it2.2性质(⑵)性质1.特征函数①(/)在(-。0,+00)上一致连续月■

5、①⑴丨<

6、(—•)入可no"1性质3.设①⑴是§的特征函数，则—疋+b的特征函数为:①知,(r)=Eei(^+h)t=eihtEeia^=严①(加)性质4.两个相互独立的随机变量之和的特征函数等于它们的特征函数之积.利用归纳法，不难把上述性质推广到"个独立随机变量的场合,若$6,…6是〃个相互独立的随机变量，相应的特征函数为卩⑴，①2(r),…®(小则§=的特征函数为①(/)=n®(小/=!/=1在这里应当着重指出，正是市于性质4,才使得特征函数在概率中占有重要地位.由于这个性质，独立随机变量和的特征函数可以方便地用各个特征函数相乘来求得，而独

7、立和的分布函数要通过褶积这种复杂的运算才能得到，相比之下，用特征函数来处理独立和问题就有利得多•独立和问题在概率论的古典问题中占有“中心”地位，而这些问题的解决大大有赖于特征函数的引进.性质5.设随机变量纟有〃阶矩存在，则它的特征函数可微分〃次，且当kS时：①⑴(0)=住厅(1)(性质5使我们可以方便地求得随机变量的各阶矩•)推论：若随机变量§有几阶矩存在，则它的特征函数可作如下展开:(2)n①⑴=]+(〃)Eg+^^E§2+・・・+^^E『+oa")2!w!性质6.分布函数对称(即F(x)=l-F(-^+O))的充要条件是它的特征

8、函数是实的偶函数.3判别特征函数的若干方法3.1根据命题判别命题1・([3])若①⑴是特征函数，贝IJ(1)①(-小(2)

9、0)(r)

10、2,(3)[①⑴]〃S为正整数)也是特征数证明：(1)若①(/)是随机变量纟的特征函数，则①(T)是随机变量〃二-§的特征函数.(2)若§与〃独立同分布，其特征函数为①⑴，则

11、0>(r)

12、2=0)(r)①(-/)是随机变量z=g-〃的特征函数.(3)若：・・6独立同分布，其特征函数为①⑴，则[①(/)]”是随机变量&的特征函数.命题2.函数①⑴及論都是一个特征函数当且仅当①⑴二广证明：若①(/)及胡都

13、是特征函数，不妨设g和77相互独立，且$和〃的特征函数分别是①⑴及胡，由于的〃的特征函数为①⑴不打=1，所以〃(§+〃=0)=1,故F(兀)=p(§-x)=p(^-X)=p(^