函数导数及其应用(26函数应用

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1、2011年高三数学一轮精品复习学案:函数、导数及其应用第六节函数应用【高考目标定位】一、函数与方程1、考纲点击(1)结合二次函数的图象,了解函数的零点与方程根的联系,判断一元二次方程根的存在性及根的个数。(2)根据具体函数的图象,能够用二分法求相应方程的近似解。2、热点提示(1)函数与方程的零点、二分法是新课标的新增内容,在近年的高考中一定有所体现。(2)本节内容多以选择题、填空题的形式出现,属中低档题,不排除与其他知识,在知识交汇处命题。二、函数模型及其应用1、考纲点击(1)了解指数函数、对数函数以及幂函数的增长特征,知道直线上升、指数

2、增长、对数增长等不同函数类型增长的含义。(2)了解函数模型(如指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等在社会生活中普遍使用的函数模型)的广泛应用。2、热点提示(1)考查数学建模能力以及分析问题、解决问题的能力;几种增长型函数模型的应用可能会成为明年高考的又一生长点。(2)多以解答题的形式出现,属中、高档题,偶尔也会在选择题、填空题中考查。【考纲知识梳理】一、函数与方程1、函数的零点(1)函数零点的定义对于函数,把使成立的实数叫做函数的零点。(2)几个等价关系方程有实数根函数的图象与轴有交点函数有零点注:①函数的零点不是函数与轴的交点,而是与

3、轴的交点的横坐标,也就是说函数的零点不是一个点,而是一个实数。②并非任意函数都有零点,只有有根的函数才有零点。(3)函数零点的判定(零点存在性定理)如果函数在区间[a,b]上的图象是连续不断的一条曲线,并且有,那么函数在区间(a,b)内有零点,即存在c∈(a,b),使得f(c)=0,这个c也就是的根注:在上面的条件下,(a,b)内的零点至少有一个c,还可能有其他根,个数不确定。2、二次函数的图象与零点的关系△>0△=0△<0二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象与x轴的交点无交点零点个数两个零点一个零点无零点3、二分法(1)二分法的

4、定义对于在区间[a,b]上连续不断且的函数,通过不断地把函数的零点所在的区间一分为二,使区间的两个端点逐步逼近零点,进而得到零点近似值的方法叫做二分法。(2)用二分法求函数零点近似值的步骤第一步,确定区间[a,b],验证,给定精确度;第二步,求区间(a,b)的中点;第三步,计算:①若=0,则就是函数的零点;②若,则令(此时零点);③若,则令(此时零点);第四步,判断是否达到精确度:即若,则得到零点近似值(或);否则重复第二、三、四步。二、函数模型及其应用1、几类函数模型及其增长差异(1)几类函数模型函数模型函数解析式一次函数模型二次函数模

5、型指数函数模型对数函数模型幂函数模型(2)三种增长型函数之间增长速度的比较①指数函数与幂函数在区间上,无论比大多少,尽管在的一定范围内会小于,但由于的增长快于的增长,因而总存在一个,当时,有>。②对数函数与幂函数()对数函数的增长速度,不论与值的大小如何总会慢于的增长速度,因而在定义域内总存在一个实数,使时有。由①②可以看出三种增长型的函数尽管均为增函数,但它们的增长速度不同,且不在同一个档次上,因此在上,总会存在一个,使时有2、解函数应用问题的步骤(四步八字)(1)审题:弄清题意,分清条件和结论,理顺数量关系,初步选择数学模型;(2)建

6、模:将自然语言转化为数学语言,将文字语言转化为符号语言,利用数学知识,建立相应的数学模型;(3)求模:求解数学模型,得出数学结论;(4)还原:将数学问题还原为实际问题的意义。以上过程用图表示如下:【热点、难点精析】(一)函数与方程1、零点的判定○相关链接○(1)解方程:当能直接求解零点时,就直接求出进行判断。(2)用定理:零点存在性定理。注:如果函数在[a,b]上的图象是连续不断的曲线,且是函数在这个区间上的一个零点,但不一定成立。(3)利用图象的交点:有些题目可先画出某两个函数,图象,其交点的横坐标是的零点。○例题解析○〖例〗判断下列函

7、数在给定区间是否存在零点。分析:第(1)问利用零点的存在性定理或直接求出零点,第(2)问利用零点的存在性定理或利用两图象的交点来求解。解答:(1)方法一:故存在零点。方法二:令得故存在零点。(2)方法一:故存在零点方法二:设在同一直角坐标系中画出它们的图象,从图象中可以看出当时,两图象有一个交点,因此存在零点。2、函数零点个数的判定○相关链接○函数零点个数的判定有下列几种方法:(1)直接求零点:令f(x)=0,如果能求出解,则有几个解就有几个零点;(2)零点存在性定理:利用该定理不仅要求函数在[a,b]上是连续的曲线,且f(a)·f(b)

8、<0。还必须结合函数的图象和性质(如单调性)才能确定函数有多少个零点。(3)画两个函数图象,看其交点的个数有几个,其中交点的横坐标有几个不同的值,就有几个不同的零点。○例题解析○判断函数在区间

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