行列式的定义和性质及若干应用论文资料要点

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1、行列式及其在初等数学中的应用【摘要】行列式是数学研究中的一类重要的工具之一,它的应用非常广泛.本文从以下四个方面对行列式的应用进行了论述:探讨了行列式与线性方程组的关系以及在解线性方程组中的应用;举例说明了行列式在初等代数中的应用,如在因式分解中应用,证明不等式以及恒等式;综述了行列式在解析几何中的若干应用,最后列举三阶行列式在高中数学的应用【关键词】:行列式;矩阵;线性方程组;秩;因式分解;平面组;点组引言行列式是研究数学的重要工具之一.例如线性方程组、多元一次方程组的解、三维空间中多个平面组或多个点组的相关位置、初等代数、解析几

2、何、维空间的投影变换、线性微分方程组等,用行列式来计算是很便利的.本文进一步研究探讨了行列式在线性方程组、初等代数、解析几何及高中数学四个方面的应用。1行列式的定义和性质1.1行列式的定义行列式与矩阵不同，行列式是一个值，它是所有不同行不同列的数的积的和，那些数的乘积符号由他们的逆序数之和有关，逆序数为偶数，符号为正，逆序数为奇数，符号为负。例1.解：不为零的项一般表示为,故1.2行列式的性质行列式有如下基本性质：1、行列式的行列互换，行列式不变；2、互换行列式中的两行或者两列，行列式反号；3、行列式中某行乘以一个数等于行列式乘以这

3、个数；4、行列式中某行或者某列乘以一个不为零的数，加到另外一行或者列上，行列式不变；5、行列式的某两行或者某两列成比例，行列式为零；6、行列式的某一列或者某一行可以看成两列或两行的和时，行列式可拆另两个行列式的和。例2一个阶行列式的元素满足则称反对称行列式，证明：奇阶数行列式为零.证明：由知，即.故行列式可表示为,由行列式的性质，..2行列式的若干应用2.1行列式在线性方程组中的一个应用设含有个变元的个一次线性方程组为（1）设方程组（1）的系数矩阵的秩是,不失一般性,假定不等于零的阶行列式是.行列式中的元素,就是矩阵中去掉第一列的元

4、素以后剩下的元素,并按照它们的原有位置排列.我们把看作是未知数,是已知数,解方程组(1),得（2）式中是行列式的第列元素换以所成的行列式.也就是.把中第列移到第一列,得.上式右边的行列式用表示,行列式是矩阵中去掉第列剩余下的元素所组成.故.代入（2）式,得,或.结论[2]:方程组（1）中的与成比例,式中是从矩阵中去掉第列剩余下的元素做成的行列式.3行列式在初等代数中的几个应用3.1用行列式分解因式利用行列式分解因式的关键,是把所给的多项式写成行列式的形式,并注意行列式的排列规则.下面列举几个例子来说明.例3.1.1分解因式：.解:.

5、例3.1.2分解因式:.解:原式.3.2用行列式证明不等式和恒等式我们知道,把行列式的某一行（列）的元素乘以同一数后加到另一行（列）的对应元素上,行列式不变;如果行列式中有一行（列）的元素全部是零,那么这个行列式等于零.利用行列式的这些性质,我们可以构造行列式来证明等式和不等式.例3.2.1已知,求证.证明：令,则.命题得证.例3.2.2已知求证.证明：令,则命题得证.例3.2.3已知,求证.证明：令,则而,则,命题得证.4．行列式在解析几何中的几个应用4.1用行列式表示公式4.1.1用行列式表示三角形面积以平面内三点为顶点的的面积

6、S是(3)的绝对值.证明:将平面三点扩充到三维空间,其坐标分别为,其中为任意常数.由此可得：,则面积为=.4.1.2用行列式表示直线方程直线方程通过两点和的直线的方程为.（4）证明:由两点式,我们得直线的方程为.将上式展开并化简,得此式可进一步变形为此式为行列式(4)按第三行展开所得结果.原式得证.4.1.3应用举例例:若直线过平面上两个不同的已知点,,求直线方程.解:设直线的方程为,不全为0,因为点在直线上,则必须满足上述方程,从而有这是一个以为未知量的齐次线性方程组,且不全为0,说明该齐次线性方程组有非零解.其系数行列式等于0,

7、即.则所求直线的方程为.同理,若空间上有三个不同的已知点,平面过,则平面的方程为.同理,若平面有三个不同的已知点,圆过,则圆的方程为.4.2行列式在平面几何中的一些应用4.2.1三线共点平面内三条互不平行的直线相交于一点的充要条件是.4.2.2三点共线平面内三点在一直线的充要条件是.4.2.3应用举例例:平面上给出三条不重合的直线:,若,则这三条直线不能组成三角形.证明：设与的交点为,因为,将第1列乘上,第2列乘上,全加到第3列上去,可得：.因为在与上,所以,且若与平行,若也在上交于一点,无论何种情形,都有不组成三角形.这说明由,得

8、到三条直线或两两平行或三线交于一点.也就是三条直线不能组成三角形.4.3行列式在三维空间中的应用4.3.1平面组设由个平面方程构成的方程组为（5）若方程组(5)中的各代以,并用乘以(5)式两端:得（6）叫做点的齐次坐标.这平面组的相关