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1、随机变量和其概率分布复习导航一、要点梳理1.离散型随机变量X的概率分布(1)如果随机试验的结果可以用一个变量来表示，那么这样的变量叫做随机变量；按一定次序一一列出，这样的随机变量叫做离散型随机变量.(2)设离散型随机变量X可能取的不同值为xl,x2,…,xi,…，xn,且P(X=xi)=pi,i=l,2,…，n,①，则称①为随机变量X的概率分布列，简称为X的分布列，也可以将①用下表形式来表示：Xxlx2…xi…xnPplp2…pi…pn上表称为随机变量X的概率分布表，它和①都叫做随机变量X的概率分布.显然，这里的pi(i=
2、l,2,…,n)具有性质:①pi$O；②pl+p2+•••+pn=l.离散型随机变量在某一范围内取值的概率等于它取这个范围内各个值的概率值的和.2.两点分布如果随机变量X的概率分布表为：XIOPpq其中0.•.随机变量X的概率分布表为:X2345P130215310815(3)由于按3个小球上最大数字的9倍计分，所以当计分介于20分〜40分时，X的取值为3或4,所以所求概率为P=P(X=3)+P(X=4)=215+310=1330.评注：在解决概率分布问题时要逐渐将问题回归到概率分布表上来，这样所求的概率就可由概率分布表中
3、相应取值的概率累加得到.题型三、超几何分布问题例5某班同学利用寒假在三个小区进行了一次生活习惯是否符合低碳观念的调查，若生活习惯符合低碳观念的称为“低碳族”，否则称为“非低碳族”，这两族人数占各自小区总人数的比例如下：A小区低碳族非低碳族比例1212B小区低碳族非低碳族比例4515C小区低碳族非低碳族比例2313(1)从A,B,C三个小区中各选一人，求恰好有2人是低碳族的概率；(2)在B小区中随机选择20户，从中抽取的3户中'‘非低碳族"数量为X,求X的分布列.解：(1)3人中恰好有2人是低碳族的概率为P=12X45X13
4、+12X15X23+12X45X23=715.(2)在B小区中随机选择的20户中，“非低碳族”有20X15=4(户),P(X=k)=Ck4C3-kl6C320(k=0,1,2,3),?.P(X=0)=C04C316C320=2857,P(X=1)=C14C216C320=819,P(X=2)=C24C116C320=895,P(X=3)=C34C016C320=1285,故X的分布列为：X0123P28578198951285评注：超几何分布的理论基础是古典概型，主要运用于抽查产品，摸不同类别的小球等概率模型•如果随机变量
5、X服从超几何分布，那么事件｛X二k｝发生的概率为P(X=k)=CkMCn-kN-MCnN,k二0,1,2,…，m.例6一袋中装有10个大小相同的黑球和白球.已知从袋中任意摸出2个球，至少得到1个白球的概率是79.(1)求白球的个数；(2)从袋中任意摸出3个球，记得到白球的个数为X,求随机变量X的概率分布表.分析：(1)列出符合题意的关于袋中白球个数x的方程;(2)随机变量X服从超几何分布.解：(1)记“从袋中任意摸出2个球，至少得到1个白球”为事件A,设袋中白球的个数为x,则P(A)=l-C210-xC210=79,得到x
6、=5.故白球有5个.(2)X服从超几何分布，其中N=10,M=5,n=3,其中P(X=k)=Ck5C3-k5C310,k=0,1,2,3.于是可得其概率分布表为：X0123P112512512112评注：对于服从某些特殊分布的随机变量，其概率分布表可以直接应用公式给出.超几何分布描述的是不放回抽样问题，随机变量为抽到的某类个体的个数，随机变量取值的概率实质上是古典概型.三、友情提示掌握离散型随机变量的概率分布表，需注意：（1）概率分布表的结构为两行，第一行为随机变量x所有可能取得的值；第二行是对应于随机变量x的值的事件发生
7、的概率•看每一列，实际上是：上为“事件”，下为事件发生的概率，只不过“事件”是用一个反映其结果的实数表示的•每完成一列，就相当于求一个随机事件发生的概率.（2）要会根据概率分布的两个性质来检验求得的概率分布表的正误.（作者：王佩其，江苏省太仓高级中学）
