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1、2007年第2期第16卷德宏师范高等专科学校学报No212007vol116数学史上的三次危机彭杰(德宏师范高等专科学校数学系,云南潞西,678400)【摘要】在整个数学的发展史上,出现了三次震动较大的数学危机。三次数学危机都有其产生的背景、解决的过程和相应的产物,在阐述这些内容的基础上,结合史料与流传佳话品味其中蕴含的丰厚的数学文化。【关键词】勾股定理;2的悖论;第一次数学危机;无穷小量;贝克莱悖论;第二次数学危机;集合论;罗素悖论;第三次数学危机英国科学史家丹皮尔曾经说过:“再没有什学领域的发展,数学史也是数学家们克服困难和么
2、故事能比科学思想发展的故事更有魅力了”。战胜危机的斗争记录。数学是历史最悠久的人类知识领域之一,在数学下面我们就以三次数学危机的背景、发生、渊远深邃的五千年历史发展长河中,人类从原始解决为线索,一起来品位悠远的数学历史文化。的结绳记数开始到今天丰富深入的数学科学知一、第一次数学危机识,重大数学思想的诞生与发展,确实构成了科第一次数学危机的出现与勾股定理的发现是学史上最富有理性魅力的题材。密切相关的。在我国,最早的一部天文数学著作从哲学上来看,矛盾是无处不在的、不可避《周髀算经》(《周髀算经》是西汉或更早时期的免的,即便以确定无疑著
3、称的数学也不例外。比著作)中就已有了关于这一定理的初步认识。什如正与负、加法与减法、微分与积分、有理数与么是“勾、股”呢?在中国古代,人们把弯曲成无理数、实数与虚数等等。但是在整个数学发展直角的手臂的上半部分称为“勾”,下半部分称过程中还有许多深刻的矛盾,例如有穷与无穷,为“股”。以后人们就简单地把这个事实说成连续与离散,存在与构造,逻辑与直观,具体对“勾三股四弦五”。由于勾股定理的内容最早见于象与抽象对象,概念与计算等等。在整个数学发商高的话中,所以我国就把这个定理叫作“商高展的历史上,贯穿着矛盾的斗争与解决。而在矛定理”。勾股
4、定理的应用非常广泛,据记载大禹盾激化到涉及整个数学的基础时,就产生数学危治水也是应用勾股定理的结果。机。提到勾股定理时,必须要提到古希腊的一位数学历史长河中有三次翻滚的大浪似乎要把大数学家毕达哥拉斯,在西方数学中是用他的名整个大海搅得浑浊不堪,但大浪过后的大海是异字命名了勾股定理,据记载毕达哥拉斯有一次应常的壮观与美丽,矛盾的消除,危机的解决,往邀参加一位富有人家的餐会,这位主人豪华宫殿往给数学带来新的内容,新的进展,整个数学的般的餐厅铺着的是正方形美丽的大理石地砖,由发展史就是矛盾斗争的历史,斗争的结果就是数于大餐迟迟不上桌,这
5、些饥肠辘辘的贵宾虽有怨收稿日期:2007-03-09作者简介:彭杰(1977—),女,梁河人,硕士,德宏师范高等专科学校数学系讲师。96彭杰:数学史上的三次危机言,但却利用这闲暇的时间观察地板上美丽的方学派的致命打击。对于当时所有古希腊人的观念形磁砖,并从方形磁砖的结构中得到了一个大胆这都是一个极大的冲击。这一结论的悖论性表现的假设:任何直角三角形,其斜边的平方恰好等在它与常识的冲突上:任何量在任何精确度的范于另两边平方之和⋯⋯那一顿饭,这位古希腊数围内都可以表示成有理数。在希腊当时是人们普学大师,视线都一直没有离开地面。数学家欧
6、几遍接受的信仰,完全符合常识的论断居然被小小里德在编著《几何原本》时,认为这个定理是毕的2的存在而推翻了!这应该是多么违反常识,达哥拉斯最早发现的,所以他就把这个定理称多么荒谬的事!面对这一荒谬人们竟然毫无办为"毕达哥拉斯定理",以后就流传开了。据说法。希伯索斯2的悖论这就在当时直接导致了人毕达哥拉斯在完成这一定理证明后欣喜若狂,而们认识上的危机,从而导致了西方数学史上一场杀牛百只以示庆贺。因此这一定理还又获得了一大的风波,史称“第一次数学危机”。个带神秘色彩的称号:“百牛定理”。这次数学危机的解决导致无理数的诞生。大然而,毕达哥
7、拉斯学派证明了勾股定理后,约公元前370年,才华横溢的欧多克斯建立起一却碰到一个神秘的数。发现这个神秘数的却是毕套完整的比例论。他的成果被保存在欧几里德达哥拉斯的一个十分勤奋好学的学生──希伯索《几何原本》一书第五篇中。欧多克斯的巧妙方斯,他发现,对于边长为l的正方形,设它的对法可以避开无理数这一“逻辑上的丑闻”,并保角线为x,根据勾股定理出现的2,但是无论如留住与之相关的一些结论,从而解决了由无理数何找不到两个整数之比等于2。也就是说,x和l出现而引起的数学危机。到18世纪,当数学家之间不可能是整数的比例关系,也就不可能找到证明
8、了基本常数如圆周率是无理数时,拥护无理一条线段,使x和l都包含它的整数倍。因此,数存在的人才多起来。到十九世纪下半叶,现在从数学的推导可以得出结论,那就是,与当时人意义上的实数理论建立起来后,无理数本质被彻们直观的观察和想象相反,的确存在着不可公度
