数学史上三次危机

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1、第五讲神秘的无穷与三次数学危机1目录一、“有无限个房间”的Hilbert旅馆二、无限与有限的区别和联系三、悖论（paradox）四、数学中的无限在生活中的反映五、潜无限与实无限六．哲学中的无限七、无穷与数学危机21.“客满”后又来1位客人（“客满”）1234┅k┅↓↓↓↓┅↓┅2345┅k+1┅空出了1号房间一、“有无限个房间”的Hilbert旅馆32.客满后又来了一个旅游团，旅游团中有无穷个客人1234┅k┅↓↓↓↓┅↓┅2468┅2k┅空下了奇数号房间43.客满后又来了一万个旅游团，每个团中都有无穷个客人1234┅k┅↓↓↓↓┅↓┅100012000230003400

2、04┅10001×k┅给出了一万个、又一万个的空房间5是否有人想提什么问题？64.[思]该旅馆客满后又来了无穷个旅游团，每个团中都有无穷个客人，还能否安排？“无穷大！任何一个其他问题都不曾如此深刻地影响人类的精神；任何一个其他观点都不曾如此有效地激励人类的智力；然而，没有任何概念比无穷大更需要澄清……”----Hilbert7二、无限与有限的区别和联系1.区别1）在无限集中，“部分可以等于全体”（这是无限的本质），而在有限的情况下，部分总是小于全体。8当初的伽利略悖论，就是因为没有看到“无限”的这一个特点而产生的。1234567891011…n…↕↕↕↕↕↕↕↕↕↕↕↕↕

3、149162536496481100121…n2…[该两集合：有一一对应，于是推出两集合的元素个数相等；但由“部分小于全体”，又推出两集合的元素个数不相等。这就形成悖论。]9[思]：构造一个“部分到整体的一一对应”：从[0，1）→[0，+∞）。102.）“有限”时成立的许多命题，对“无限”不再成立（1）实数加法的结合律在“有限”的情况下，加法结合律成立:(a+b)+c=a+(b+c)，a，b，c11在“无限”的情况下，加法结合律不再成立。如12（2）有限级数一定有“和”。√是个确定的数无穷级数一定有“和”。×则不是个确定的数。称为该级数“发散”。反之称为“收敛”。132.

4、联系在“有限”与“无限”间建立联系的手段，往往很重要。1）数学归纳法通过有限的步骤，证明了命题对无限个自然数均成立。2）极限通过有限的方法，描写无限的过程。如：；自然数N，都，使时，。140.99999‥‥‥=1?3）无穷级数通过有限的步骤，求出无限次运算的结果，如4）递推公式,a1=*有一个著名的例子：兔子永远追不上乌龟，箭永远射不上靶子。结果虽然可笑，但在逻辑上却耐人寻味，这就是著名的二分法悖论。15三、悖论（paradox）悖论（paradox）具体是指：由一个被承认是真的命题为前提，设为B，进行正确的逻辑推理后，得出一个与前提互为矛盾命题的结论非B；反之，以非B为

5、前提，亦可推得B。那么命题B就是一个悖论。1．说谎者悖论：最早见《新约全书·提多书》“我正在说谎”162.“外祖母悖论”，我会穿梭时空，回到过去，把我自己的外祖母杀了。我外祖母没了，我妈就没了，我也就没了。而我没了，就没有人杀我外祖母，我外祖母就不会死，那我又有了。而有了我，外祖母就没了，我也就没了……这就是悖论，自己与自己就有矛盾。173.“说谎者循环”：A说：“下面是句谎话。”B说：“上面是句真话。”184、芝诺悖论---由无限引出的芝诺（前490？—前430？）是（南意大利的）爱利亚学派创始人巴门尼德的学生。他企图证明该学派的学说：“多”和“变”是虚幻的，不可分的“

6、一”及“静止的存在”才是唯一真实的；运动只是假象。于是他设计了四个例证，人称“芝诺悖论”。这些悖论是从哲学角度提出的。我们从数学角度看其中的一个悖论。191）两分法向着一个目的地运动的物体，首先必须经过路程的中点；然而要经过这点，又必须先经过路程的四分之一点；要过四分之一点又必须首先通过八分之一点等等，如此类推，以至无穷。结论是：无穷是不可穷尽的过程，运动永远不可能开始的。202）阿基里斯(Achilles)悖论：阿基里斯追不上乌龟。213）飞矢不动悖论一支飞行的箭是静止的：由于每一时刻这支箭都有其确定的位置因而是静止的，因此箭就不能处于运动状态。224）“操场或游行队伍

7、”A、B两件物体以等速向相反方向运动。从静止的C看来，比如说，A、B都在1小时内移动了2公里；可是，从A看来，则B在1小时内就移动了4公里。由于B保持等速移动，所以移动2公里的时间应该是移动4公里时间的一半。因而一半的时间等于两倍的时间。23症结：无限段长度的和，可能是有限的；无限段时间的和，也可能是有限的。芝诺悖论的意义：1）促进了严格、求证数学的发展2）较早的“反证法”及“无限”的思想3）尖锐地提出离散与连续的矛盾：空间和时间有没有最小的单位？24芝诺的前两个悖论是反对“空间和时间是连续的”，后两个悖论则是反对“空间和时间