定积分方法和应用

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1、DDY整理例3求由曲线及轴所围图形的面积。  解 画草图，曲线与的交点是，取为积分变量， 时，， 时，，所以，例4求由圆与直线及曲线所围图形的面积。解画草图，取为积分变量， DDY整理例5求抛物线与其在点处的法线所围成图形的面积。解先求出法线方程，画出草图，再求出法线与抛物线的两个交点  ，所以，例6求曲线的一条切线，使得该切线与直线及曲线所围成的图形的面积 A 为最小。解（1）关键是找出目标函数，即所围面积与切点  坐标间的函数关系。设为曲线上任一点，则此点处的切线方程为 ,于是所求面积DDY整理=（2）下面求 A 的最

2、小值：令得。又当，时；当时，。故当时，A 取极小值，也是最小值，从而得到切线方程参数方程的情形按直角坐标情形分析，参数方程相当于积分时把积分变量做了变换。不用记公式。由连续曲线，轴及直线、所围图形的面积为             其中例7求摆线的一拱与轴所围成的平面图形的面积。解如图，对应与图中摆线的一拱，的变化范围为，参数 t 的变化范围为。故所求面积为DDY整理        =2.极坐标情形设曲线的极坐标方程为   连续，由曲线及射线 所围曲边扇形的面积为 （记住）例8求双纽线所围成的平面图形的面积。 DDY整理解由

3、于双纽线的图形和极轴与极点都对称，因此只需求出区间上部分面积再 4 倍即可1.平行截面面积已知的立体体积设空间立体被垂直于轴的平面所截，截面面积为，且立体在之间，则体积元素，立体体积     例9一平面经过半径为的圆柱体的底圆中心，并与底面成交角，计算这平面截圆柱体所得立体的体积。 解取这平面与圆柱体的底面的交线DDY整理   为轴，底面上过圆中心、且垂直于轴的直线为轴。（见图）则底圆的方程为。 立体中过点且垂直于轴的截面是一个直角三角形。它的两条直角边的 长分别为及，即及。 因而截面积，所求体积为       2.旋转体

4、的体积（1）由连续曲线DDY整理   轴所围曲边梯形绕轴旋转一周所成 旋转体，其体积：取为积分变量， 对应于 ，体积元素        故： （2）由连续曲线       轴所围曲边梯形绕轴旋转一周所   成旋转体，其体积：取为积分变  量，对应于 ，体积元素             故：  DDY整理例10设曲线所围成的平面图形为 D。试求D绕旋转而成的旋转体的体积。    解所求为 D 绕 y 轴旋转所得旋转体的体积,由公式             例11求摆线,的一拱与围成的图形分别绕轴、轴旋转一周而成的旋转体体积。

5、解DDY整理           （1） 绕轴：（2） 绕轴：为如图两部分体积之差DDY整理 例12设由曲线与直线围成平面图形求（1）此平面图形的面积；（2）此平面图形绕轴旋转所成的旋转体体积。解 作图，求交点：解；  解（1）面积：（2）体积：DDY整理1. 直角坐标的情形 设具有一阶连续导数，求此曲线对应于之间弧长：取为积分变量，对应于，弧长元素（弧微分）为     故：（注：,弧长为正，所以积分中 参数大的做为上限值，小的作为下限 值）以下同。2. 参数方程的情形设具有一阶连续导数，求曲线对应于   之间的弧长：弧长

6、元素（弧微分）故：直角方程是参数方程的特殊情况，即：，,为参数。DDY整理3. 极坐标的情形设曲线方程为具有一阶连续导数，求此曲线对应于之间的弧长：弧长元素（弧微分）,故：例13求抛物线由顶点到点的一段弧的长度。解直接用公式   ，令DDY整理    例14计算摆线的一拱的长度。          解由公式：例15求心形线的全长，其中。  解 ，由公式： 由对称性：DDY整理